Question

Даю 88 балла!!! Сравнивая корни многочленов, проверьте, делится ли многочлен x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 на многочлен x^2 − 3x − 18. Нужно решение ​

Answer 1

Если корни многочлена с меньшей степенью совпадают с корнями многочлена большей степени - то многочлен большей степени делится на многочлен меньшей степени

Для примера  x^2 - 2x + 1 делится на x-1 (корень 1)

x-1=0 x=1

(x -1)^2 = 0 x=1

и не делится на х+1

Так и здесь найдем корни многочлена второй степени и подставим в многочлен 5-й степени, если и там будут корни, то значит делится, если нет - то не делится

x^2 - 3x - 18 = 0

D = 9 + 72 = 81

x12=(3+-9)/2 = 6  -3

(x+3)(x-6) = 0

подставляем найденные значения в x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 = 0

1. х=-3

(-3)^5 - 4 *(-3)^4 - 13*(-3)^3 + 216 = -243 - 324 + 351 + 216 = - 567 + 567 = 0 да корень

2. х=6

6^5 - 4*6^4 - 13*6^3 + 216 = 7776 - 5184 - 2808 + 216 = 7992 - 7992 = 0

да корень

Значит многочлен пятой степени делится на многочлен второй степени без остатка

(x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216) / ( x^2 − 3x − 18) = x^3 - x^2 + 2x - 12

Answer 2

Спасибо за оценку!

Чтобы проверить, делится ли многочлен x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 на многочлен x^2 − 3x − 18, нам нужно найти значения, которые делают оба многочлена равными нулю.

Сначала найдем корни многочлена x^2 − 3x − 18:

x^2 − 3x − 18 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (3 ± sqrt(3^2 + 4118)) / (2*1)

x = (3 ± 9) / 2

x1 = 6, x2 = -3

Таким образом, мы получили два корня многочлена x^2 − 3x − 18: x1 = 6 и x2 = -3.

Теперь мы можем проверить, делится ли многочлен x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 на многочлен x^2 − 3x − 18, подставив каждый корень вместо x и проверив, будет ли остаток равен нулю.

Подставим x1 = 6:

(6)^5 − 4(6)^4 − 13(6)^3 + 216 = 0

Подставим x2 = -3:

(-3)^5 − 4(-3)^4 − 13(-3)^3 + 216 = 0

В обоих случаях остаток равен нулю, поэтому многочлен x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 делится на многочлен x^2 − 3x − 18 без остатка.

Таким образом, ответ на ваш вопрос - да, многочлен x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 делится на многочлен x^2 − 3x − 18.