Question

Докажите неравенство 4х²+у²>4ху–5

Answer 1

$(2x)^{2} + y^{2}-4xy=(2x-y)^2 \geq =\ \textgreater \ (2x-y)^2\ \textgreater \ -5$ ∀ x⊂R

Answer 2

Для доказательства данного неравенства можно воспользоваться методом завершения квадрата, а именно:

1. Добавим и вычтем в левой части выражения 4xу:

   4x² + у² + 4xу - 4xу - 5

2. Преобразуем первые три слагаемых с помощью завершения квадрата:

   (2x + у)² - 5

3. Очевидно, что выражение (2x + у)² неотрицательно для любых x и y, а значит:

   (2x + у)² - 5 > -5

4. Таким образом, получаем неравенство:

   4x² + у² > 4xу - 5

что и требовалось доказать.