Question

Найдите ctg^2(п/2 + альфа) если sin a = корень 21/5

Answer 1

$Ctg ^{2} ( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )=tg ^{2} \alpha \\\\1+tg ^{2} \alpha = \frac{1}{Cos ^{2} \alpha }\\\\tg ^{2} \alpha = \frac{1}{Cos ^{2} \alpha } -1\\\\Cos ^{2} \alpha =1-Sin ^{2} \alpha =1-( \frac{ \sqrt{21} }{5} ) ^{2}=1- \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \\\\tg ^{2} \alpha = \frac{1}{ \frac{4}{25} } -1= \frac{25}{4} -1= \frac{21}{25}=0,84$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться определением тангенса и котангенса через синус и косинус:

ctg(α) = cos(α) / sin(α)

tg(α) = sin(α) / cos(α)

Для начала, найдем cos(α) по формуле:

sin^2(α) + cos^2(α) = 1

cos^2(α) = 1 - sin^2(α)

cos(α) = ±√(1 - sin^2(α))

Так как sin(α) > 0 (из условия), то cos(α) < 0, поэтому выберем знак минус:

cos(α) = -√(1 - sin^2(α)) = -2/√5

Теперь можем найти tg(α) по формуле:

tg(α) = sin(α) / cos(α) = -√21/2

А затем ctg(α) по формуле:

ctg(α) = 1 / tg(α) = -2/√21

Теперь применим формулу приведения для котангенса:

ctg(π/2 + α) = -1/tan(α)

Используя свойства тангенса, получаем:

tan(α) = sin(α) / cos(α) = -√21 / (-2/√5) = √21 * √5 / 2 = √105 / 2

Подставляя это значение в формулу для ctg(π/2 + α), получаем:

ctg^2(π/2 + α) = (-1/tan(α))^2 = (-2/√105)^2 = 4/105

Таким образом, ctg^2(π/2 + α) = 4/105.