Question

Докажите,что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/а(2)+2 + 8/а(4)-4 - 2/а(2)-2 отрицательно.

Answer 1

Посмотрите на листочке

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 1/а(2)+2 + 8/а(4)-4 - 2/а(2)-2 отрицательно при всех допустимых значениях переменной, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг: При a=1, выражение равно:

1/1(2)+2 + 8/1(4)-4 - 2/1(2)-2 = 1/3 + 8/(-3) - 2/(-1) = -1/3

Таким образом, базовый шаг выполнен.

Шаг индукции: Предположим, что выражение отрицательно для произвольного значения переменной a = k. Докажем, что оно отрицательно и при a = k+1.

Выражение при a = k+1 будет выглядеть следующим образом:

1/(k+1)(2)+2 + 8/(k+1)(4)-4 - 2/(k+1)(2)-2

Разложим это выражение на простые дроби:

1/(k+1)(2)+2 = (1/2)(1/(k+1) - 1/(k+3)) 8/(k+1)(4)-4 = (2)(1/(k+1) - 1/(k+3)) 2/(k+1)(2)-2 = (1/2)(1/(k+1) - 1/(k-1))

Тогда выражение при a = k+1 можно переписать в виде:

(1/2)(1/(k+1) - 1/(k+3)) + 2(1/(k+1) - 1/(k+3)) - (1/2)(1/(k+1) - 1/(k-1))

Сокращая общие слагаемые, получим:

(5/2)(1/(k+1)) - (3/2)(1/(k+3)) - (1/2)(1/(k-1))

Заметим, что каждое слагаемое этого выражения отрицательно при k > 0. Таким образом, выражение при a = k+1 будет отрицательным, если оно отрицательно при a = k.

Таким образом, мы показали, что выражение 1/а(2)+2 + 8/а(4)-4 - 2/а(2)-2 отрицательно при всех допустимых значениях переменной.