Question

Решите уравнение 3ˣ⁺²+9ˣ⁺¹=81

Answer 1

3^(x) * 9 + 9^(x)*9 = 81    /:9
3^(x)  + 9^(x) = 9
3^(2x) + 3^(x) - 9 = 0 

3^x = t
t^2 + t - 9 = 0 
D = 1 + 4*9 = 37
t1 = ( - 1 + √37)/2 ≈ 2,5 (удовлетворяет, так как t1 > 0 )
t2 = ( - 1 - √37)/2 ≈ - 3,5 (не удовлетворяет, так как не t2 > 0 )

3^x = ( - 1 + √37)/2
x = log3 (( - 1 + √37)/2)

Answer 2

Данное уравнение имеет вид:

3ˣ⁺² + 9ˣ⁺¹ = 81

Поскольку все три слагаемых находятся в степени 2, можно заменить переменную x² = y и переписать уравнение в виде:

3^2y + 9^(y/2 + 1) = 81

Теперь приведем оба слагаемых к одной и той же степени 3:

3^(2y) + 3^(y + 3) = 3^4

3^(2y) + 3^(y + 3) - 3^4 = 0

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной 3^y. Решим его, используя стандартную формулу:

a = 1, b = 3, c = -48

D = b² - 4ac = 3² - 41(-48) = 201

Таким образом, получаем два корня:

3^y₁ = (-3 + sqrt(201)) / 2 ≈ 3.406

3^y₂ = (-3 - sqrt(201)) / 2 ≈ 0.023

Переходя от переменной y к переменной x, получаем:

x₁ = (log₃ 3^y₁) / 2 ≈ 0.703

x₂ = (log₃ 3^y₂) / 2 ≈ -1.145

Таким образом, решением уравнения являются два числа: x₁ ≈ 0.703 и x₂ ≈ -1.145.