Question

Помогите с модулями x^2=|4x-5| раскрыть модуль по опредлению

Answer 1

.....................

Answer 2

Для начала, заметим, что если (4x - 5) >= 0, то |4x - 5| = (4x - 5). А если (4x - 5) < 0, то |4x - 5| = -(4x - 5). Тогда мы можем рассмотреть два случая:

1. Пусть (4x - 5) >= 0. Тогда уравнение принимает вид: x^2 = 4x - 5

Перенесем все члены в левую часть уравнения: x^2 - 4x + 5 = 0

Решим квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 415 = 16 - 20 = -4

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Значит, решениями уравнения в этом случае являются только комплексные числа.

2. Пусть (4x - 5) < 0. Тогда уравнение принимает вид: x^2 = -(4x - 5)

Возводим обе части уравнения в квадрат: x^4 = (4x - 5)^2

Раскрываем квадрат на правой части уравнения: x^4 = 16x^2 - 40x + 25

Переносим все члены в левую часть уравнения: x^4 - 16x^2 + 40x - 25 = 0

Решим полученное уравнение, например, методом подстановки. Подставим u = x^2: u^2 - 16u + 40u - 25 = 0 u^2 + 24u - 25 = 0

D = b^2 - 4ac = 24^2 - 41(-25) = 976

Тогда: u1 = (-24 + sqrt(976)) / 2 = 2 u2 = (-24 - sqrt(976)) / 2 = -26

Если u1 = x^2 = 2, то x1 = sqrt(2) или x2 = -sqrt(2). Если u2 = x^2 = -26, то уравнение не имеет действительных корней.

Итак, решениями уравнения x^2 = |4x - 5| являются только комплексные числа и два действительных числа: x1 = sqrt(2) и x2 = -sqrt(2).