Question

Исследовать функцию f(x)=12^(1/x) на непрерывность.

Answer 1

y = 12^(1/x)

Область определения x≠ 0

Исследуем точку х = 0

Найдём предел функции при х→0 слева и справа

Для этого построим приблизительно график функции (см. фото)

По графику видим, что

lim (x→0) слева от 12^(1/х) = 0;    lim (x→0) справа от 12^(1/х) = +∞;  

Ответ: точка х=0 является точкой разрыва 1-го рода

Answer 2

Для исследования непрерывности функции f(x) = 12^(1/x) на всей области определения необходимо рассмотреть ее поведение на интервалах, на которых она определена.

Функция f(x) определена для всех x > 0, так как в основании степени должно находиться положительное число. Исходя из этого, можно сказать, что f(x) непрерывна на интервале (0, +∞).

Для доказательства непрерывности на данном интервале, необходимо проверить ее непрерывность в каждой точке этого интервала.

Возьмем произвольную точку a из интервала (0, +∞) и покажем, что f(x) непрерывна в точке a.

Из определения непрерывности следует, что для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точке a, необходимо и достаточно показать, что выполнены следующие условия:

1. f(a) существует.

2. Предел функции f(x) при x, стремящемся к a, существует.

3. f(a) равна пределу функции f(x) при x, стремящемся к a.

Проверим выполнение каждого из этих условий:

1. f(a) = 12^(1/a) существует для любой точки a из интервала (0, +∞), так как основание степени 12 положительное.

2. Предел функции f(x) при x, стремящемся к a, можно найти, воспользовавшись правилом Лопиталя:

bashCopy code
lim(x → a) 12^(1/x) = exp[lim(x → a) ln(12^(1/x))]
                      = exp[lim(x → a) (ln 12)/x]
                      = exp[(ln 12)/a]
                      = 12^(1/a)

3. Из пункта 1 следует, что f(a) = 12^(1/a), а из пункта 2 следует, что предел функции f(x) при x, стремящемся к a, также равен 12^(1/a). Следовательно, f(a) равна пределу функции f(x) при x, стремящемся к a.

Таким образом, функция f(x) = 12^(1/x) непрерывна на интервале (0, +∞).