Question

Какой цифрой оканчивается тридцать пятая степень числа 947?

Answer 1

Ответ: оканчивается семеркой т. к. нужно посмотреть от 1-ой до 10-ой степени и рат 3,5 раза останавливаемся на .....7

Answer 2

Для того, чтобы найти последнюю цифру в тридцать пятой степени числа 947, можно воспользоваться методом модулярной арифметики.

Последняя цифра числа 947 зависит только от последней цифры этого числа. Поскольку 7 в конце числа не меняется при возведении в любую степень, то последняя цифра 947 в любой степени будет такой же, как и последняя цифра $7^{35}$.

Чтобы определить последнюю цифру числа $7^{35}$, можно разложить все возможные степени числа 7 по модулю 10 и найти периодическую последовательность остатков.

$7^1 \equiv 7 \pmod{10}$

$7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}$

$7^3 \equiv 343 \equiv 3 \pmod{10}$

$7^4 \equiv 2401 \equiv 1 \pmod{10}$

$7^5 \equiv 7 \pmod{10}$

$7^6 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}$

$7^7 \equiv 343 \equiv 3 \pmod{10}$

$7^8 \equiv 2401 \equiv 1 \pmod{10}$

$...$

Как видно из таблицы, остатки от деления степеней числа 7 на 10 образуют периодическую последовательность из 4 чисел: 7, 9, 3 и 1. Это значит, что последняя цифра числа $7^{35}$ равна последней цифре числа $7^{35\ \mathrm{mod}\ 4}$.

35 mod 4 равно 3, так как 35 = 4 × 8 + 3. Следовательно, последняя цифра числа $7^{35}$ равна последней цифре числа $7^3$, т.е. 3.

Таким образом, последняя цифра числа 947 в тридцать пятой степени равна 3.