Question

3cos6x-8cos3x+5=0ЗАД.13 ЕГЭ ПРОФИЛЬ ПОДРОБНО С РЕШЕНИЕМ

Answer 1

3cos6x - 8cos3x +5=0
3(2Сos²3x -1)  - 8cos3x +5 = 0
6Cos²3x - 3  - 8cos3x +5 = 0
6Cos²3x -8Cos3x +2 = 0
Cos3x = t
6t² - 8t +2 = 0
t = (4 +-√(16 -12))/6 = (4 +-2)/6
а) t₁ = 1                              б) t₂ = 1/3
Cos3x = 1                               Cos3x = 1/3
3x = 2πk  , k ∈Z                       3x = +-arcCos1/3 + 2πn , n ∈Z
x = 2πk/3 , k ∈Z                       x = +-1/3*arcCos1/3 + 2πn/3 , n ∈Z 

Answer 2

Дано уравнение: 3cos6x - 8cos3x + 5 = 0.

Заменим cos6x и cos3x через cos2x: cos6x = 2cos²3x - 1 cos3x = 2cos²1.5x - 1

Подставим в исходное уравнение: 3(2cos²3x - 1) - 8(2cos²1.5x - 1) + 5 = 0

Раскроем скобки: 6cos²3x - 3 - 16cos²1.5x + 8 + 5 = 0

Упростим: 6cos²3x - 16cos²1.5x + 10 = 0

Заменим cos²1.5x через (1 + cos3x) / 2: 6cos²3x - 16(1 + cos3x) / 2 + 10 = 0

Раскроем скобки: 6cos²3x - 8cos3x - 3 = 0

Заменим cos3x через cos2x: 6(2cos²3x - 1) - 8cos3x - 3 = 0

Раскроем скобки: 12cos²3x - 8cos3x - 3 = 0

Подставим t = cos3x: 12t² - 8t - 3 = 0

Решим квадратное уравнение: t1,2 = (8 ± √(8² - 4·12·(-3))) / (2·12) t1 = 1/2 t2 = -3/4

Заменим обратно cos3x на t: cos3x = 1/2 или cos3x = -3/4

Рассмотрим первое уравнение: cos3x = 1/2. Решениями этого уравнения на отрезке [0; 2π) являются углы: π/3 и 5π/3.

Рассмотрим второе уравнение: cos3x = -3/4. Решений на отрезке [0; 2π) нет, так как значение косинуса не может быть меньше -1.

Таким образом, решениями исходного уравнения на отрезке [0; 2π) являются углы: π/3 и 5π/3.