Question

Укажите наименьшее значение функции y=3-0,5sin2x

Answer 1

Укажите наименьшее значение функции y = 3 - 0,5 * sin(2x)

Находим первую производную функции:

y' = - cos(2x)

Приравниваем ее к нулю:

- cos(2x) = 0

cos(2x) = 0

2x = п/2 + kп, k ∈ Z

x = п/4 + kп/2, k ∈ Z

Таким образом п/4 и 3п/4 - экстремумы функции. Подставим их и найдем наибольшее и наименьшее значение данной функции:

f(п/4) = 3 - 0,5 * sin(2 * п/4) = 3 - 0,5 * sin(п/2) = 3 - 0,5 * 1 = 2,5

f(3п/4) = 3 - 0,5 * sin(2 * 3п/4) = 3 - 0,5 * sin(3п/2) = 3 - 0,5 * (-1) = 3,5

Таким образом минимальное значение функции 2.5

Ответ: 2.5

Answer 2

Функция y=3-0,5sin2x является периодической с периодом pi (из свойств тригонометрической функции синуса). Значит, достаточно найти ее минимальное значение на интервале [0, pi].

Для этого найдем точки, в которых функция достигает своего максимального значения - они будут на расстоянии pi/2 друг от друга, а точки минимального значения - на расстоянии pi.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значение функции y=3-0,5sin2x, достаточно подставить в эту функцию значение x=pi/2, так как на интервале [0, pi] это значение является точкой минимального значения функции:

y=3-0,5sin2(pi/2) = 3-0,5*1 = 2,5

Ответ: наименьшее значение функции y=3-0,5sin2x равно 2,5 и достигается при x=pi/2.