Question

На доске записано 25 натуральных чисел. Известно, что сумма любых трех из них не меньше 58. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел, записанных на доске.

Answer 1

Всего чисел - 25, сумма любой тройки из них меньше 58.

a1+a2+a3>=58

a4+a5+a6>=58

a7+a8+a9>=58

a10+a11+a12>=58

a13+a14+a15>=58

a16+a17+a18>=58

a19+a20+a21>=58

a22+a23+a24>=58

сложив получаем:

a1+a2+a3...+a24>= 464 Ответ:464

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом противоположного отрицания. То есть предположим, что сумма всех чисел на доске равна S, но сумма любых трех из них не меньше 58, и попытаемся доказать, что это противоречит условию.

Предположим, что на доске записано 25 натуральных чисел, и сумма всех чисел равна S. Тогда по условию задачи для любых трех чисел на доске A, B и C выполняется неравенство:

A + B + C ≥ 58

Рассмотрим все возможные наборы из трех чисел на доске. При этом каждое число может входить в несколько наборов.

Таким образом, каждое число входит в сумму по крайней мере 9 раз (так как на доске 25 чисел, и каждый набор из трех чисел содержит каждое число дважды), и сумма всех неравенств будет равна:

9(A1 + A2 + ... + A25) ≥ 58 × (25 × 24 ÷ 2)

9S ≥ 25 × 24 × 29

S ≥ (25 × 24 × 29) ÷ 9 = 725

Таким образом, мы доказали, что если на доске записаны 25 натуральных чисел, сумма любых трех из которых не меньше 58, то наименьшее возможное значение суммы всех чисел на доске равно 725.