Question

Помогите решить интеграл ∫(x+2)^2/x^3 dx

Answer 1

$\int \frac{(x+2)^2}{x^3}\, dx=\int \frac{x^2+4x+4}{x^3}\, dx=\int (\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x^3})\, dx=\\\\=\ln|x|+4\cdot \frac{-1}{x}+4\cdot \frac{-1}{2x^2}+C=ln|x|-\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}+C$

Answer 2

Данный интеграл можно решить с помощью метода долгого деления и интегрирования по частям.

1. Метод долгого деления:

(x + 2)^2 / x^3 = (x^2 + 4x + 4) / x^3 = 1/x + 4/x^2 + 4/x^3

Теперь мы можем проинтегрировать каждый член этой дроби по отдельности.

2. Интегрирование по частям:

∫1/x dx = ln|x| + C1 ∫4/x^2 dx = -4/x + C2 ∫4/x^3 dx = -2/x^2 + C3

где C1, C2, C3 - произвольные постоянные интегрирования.

Итак, полный интеграл:

∫(x+2)^2/x^3 dx = ln|x| - 4/x - 2/x^2 + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.