Question

Решить неравенство (5x+1)/(x-2)<0

Answer 1

(5х + 1)/(х - 2) < 0

x - 2 ≠ 0, отсюда х ≠ 2

1) 5х + 1 < 0 и х - 2 > 0

5x < -1  и  х > 2

x < -0,2 и х > 2 - интервалы не пересекаются, значит, решения нет

2) 5х + 1 > 0 и х - 2 < 0

5x > -1  и  х < 2

x > -0,2 и х < 2 решение есть

х ∈ (-0,2; 2)

Answer 2

Для решения данного неравенства необходимо выяснить знак выражения (5x+1)/(x-2) на каждом из интервалов, на которые разбивается ось чисел в результате его решения.

1. Начнем с определения точек разрыва функции (5x+1)/(x-2). Точки разрыва возникают при значениях x, для которых знаменатель равен нулю: x-2=0 => x=2. Следовательно, точка разрыва находится в x=2.

2. Разобьем ось чисел на три интервала: x<2, x=2 и x>2.

3. Выберем любое значение x из каждого интервала, и подставим их в выражение (5x+1)/(x-2), чтобы определить знак на соответствующем интервале:

• При x<2: выберем x=0. Тогда (5x+1)/(x-2) = (5*0+1)/(0-2) = -1/2 < 0. Следовательно, на интервале x<2 выражение (5x+1)/(x-2) отрицательно.

• При x=2: выражение (5x+1)/(x-2) не имеет значения, так как знаменатель равен нулю.

• При x>2: выберем x=3. Тогда (5x+1)/(x-2) = (5*3+1)/(3-2) = 16 > 0. Следовательно, на интервале x>2 выражение (5x+1)/(x-2) положительно.

4. Соберем все полученные знаки вместе и получим ответ:

(5x+1)/(x-2) < 0 при x<2.

Ответ: x принадлежит множеству (-бесконечность; 2).