Question

(Даю 100 баллов) Найдите промежутки возрастания и убывания функции : f(x)= sinxf(x)= cosxf(x)= tgxf(x)= sin2x+cos2xРешите хоть один, пожалуйста! Или хотя бы объясните, как делать!! Заранее спасибо)P.S. : там вроде нужно использовать производные

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

попытаюсь объяснить. в целом алгоритм простой. легче всего, конечно, построить график и посмотреть где функция убывает, а где возрастает. Но если такой способ не подходит, то надо искать производную. В первом примере производная от синуса равна косинусу. Приравняем получившуюся производную к нулю (f'(x)=cosx=0). То есть х=π/2+πn, где n∈Z.  Именно при таких х производная равна 0, то есть функция f(x) меняет свою монотонность. Если производная меньше нуля, то функция убывает, если больше, то она возрастает. Для этого надо подставить какие нибудь значения справа и слева от точек x=π/2+πn. Получаем что слева функция возрастает, а справа убывает. То есть функция возрастает от -π/2+πn, до π/2+πn, а убывает от π/2+πn до 3π/2+πn, где n∈Z.

Аналогично решим и другие. (надеюсь что теорию вы поняли, поэтому не буду расписывать)

2) Производная от косинуса равна   минус синусу. Синус равен нулю в точках πn, где n∈Z. Так как при π/2 -sin(π/2) <0, то на промежутке от 0+πn до π+πn, где n ∈Z, функция убывает (так как точка π/2 лежит на таком промежутке при n=0 ), значит на интервале от -π+πn до 0+πn функция возрастает.

3) производная от тангенса равна 1/((cos x)^2).  То есть при любых х производная больше 0. Это значит что функция возрастает на всей области определения.

4) производная от данной функции равна f'(x)=2cos(2x)-2sin(2x). Производная равна нулю при x=π/8+2πn и x=5π/8+2πn, где n∈Z. Решив аналогично предыдущим примерам, получим, что функция убывает на интервале [π/8+2πn; 5π/8+2πn]  и возрастает на интервале [5π/8+2πn; 9π/8+2πn] где n∈Z.

Answer 2

Спасибо за баллы и вопрос!

Для того, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти производную функции и определить знак этой производной на различных интервалах.

Давайте начнем с функции f(x) = sin x.

Найдем производную этой функции: f'(x) = cos x.

Промежутки возрастания и убывания функции f(x) = sin x соответствуют промежуткам, на которых f'(x) > 0 и f'(x) < 0 соответственно. Поскольку cos x является периодической функцией с периодом 2π, эти промежутки возрастания и убывания будут повторяться каждые 2π.

Таким образом, f(x) возрастает на промежутках, где x = (2nπ - π/2) + kπ, где n - целое число, k - любое действительное число, а f(x) убывает на промежутках, где x = (2nπ + π/2) + kπ.

Аналогично можно найти промежутки возрастания и убывания для других функций. Для функции f(x) = cos x, f'(x) = -sin x, поэтому f(x) возрастает на промежутках, где x = 2nπ + kπ, а f(x) убывает на промежутках, где x = (2n + 1)π + kπ.

Для функции f(x) = tan x, f'(x) = sec^2 x, где sec x - это секанс x, который является обратным косинусу x. Функция sec^2 x всегда положительна, поэтому f(x) возрастает на промежутках, где tan x > 0, т.е. на промежутках (2nπ, π/2 + 2nπ) и (nπ + π, (n+1)π), где n - целое число, а f(x) убывает на промежутках, где tan x < 0, т.е. на промежутках (π/2 + 2nπ, nπ + π) и ((n+1)π, 2(n+1)π), где n - целое число.

Для функции f(x) = sin 2x + cos 2x, можно заметить, что эта функция может быть переписана в виде f(x) = √2 sin(2x + π/4). Найдем производную этой функции: f'(x) = √2 cos(2x + π/4).

Промежутки возрастания и убывания этой функции будут соответствовать промежуткам, на которых