Question

Упроститьcos4x+sin2x cos2x+sin2xУточнение:цифры 4;2 после cos или sin находятся в степени.

Answer 1

$\cos^4(x)+\sin^2(x)\cos^2(x)+\sin^2(x)=\\=\cos^2(x)*(\cos^2(x)+\sin^2(x))+\sin^2(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$

Answer 2

$cos^{4}x +sin^2xcos^2x+sin^x=cos^2x(cos^2x+sin^2x)+sin^2x=cos^2x$ $+sin^2x=1$

Answer 3

Мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

1. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
3. cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)
4. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Тогда мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) и получить:

cos(4x) + sin(2x)cos(2x) + sin^2(x)cos(2x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) + 2sin(x)cos(x)cos(2x) + (1-cos^2(x))cos(2x)

Мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x) и сгруппировать некоторые члены:

cos^2(2x) - sin^2(2x) + cos(2x) - sin^2(x)cos(2x) + 2sin(x)cos(x)cos(2x)

Заметим, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, поэтому:

2cos^4(x) - 2cos^2(x)sin^2(x) + 2cos^3(x)sin(x) - 2cos(x)sin^3(x)

Теперь мы можем сгруппировать члены с cos^2(x) и sin^2(x):

2cos^2(x)(cos^2(x) - sin^2(x) + cos(x)sin(x)) - 2sin^2(x)(cos(x)sin(x) - cos^2(x))

Заметим, что cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) и cos(x)sin(x) = 1/2sin(2x), тогда:

2cos^2(x)(cos(2x) + 1/2sin(2x) + cos(x)sin(x)) - sin^2(x)(2cos(x)sin(x) - 2cos^2(x))

Наконец, мы можем использовать тождество 2sin(x)cos(x) = sin(2x) и упростить:

2cos^2(x)(cos(2x) + sin(2x)/2 + 1/2sin(2x)) - sin^2(x)sin(2x)

2cos^2(x)(cos(2x) + 3/4sin(2x)) - 1/2sin^3(x)

Таким образом, мы получили упрощенную форму для исходного выражения.