Question

Вычислить: arctg (tg 10pi/13)

Answer 1

$arctg(tg\frac{10\pi}{13})=?\\\\\frac{\pi}{2}\ \textless \ \frac{10\pi}{13}\ \textless \ \pi\; \; \Rightarrow \; \; \frac{10\pi}{13}=\pi -\frac{3\pi}{13}\\\\tg\frac{10\pi}{13}=tg(\pi -\frac{3\pi}{13})=tg(-\frac{3\pi}{13})\; ,\; \frac{\pi}{2}\ \textless \ -\frac{3\pi}{13}\ \textless \ \frac{\pi}{2}\\\\arctg(tg \alpha )= \alpha \; ,\; esli\; \; -\frac{\pi}{2}\ \textless \ \alpha \ \textless \ \frac{\pi}{2}\; .\\\\arctg(tg\frac{10\pi}{13})=arctg(tg(-\frac{3\pi}{13}))=-\frac{3\pi}{13}$

Answer 2

Начнем с того, что заметим, что $\tan(\theta)$ является периодической функцией с периодом $\pi$, то есть $\tan(\theta + \pi) = \tan(\theta)$ для любого угла $\theta$.

Также, мы можем использовать тригонометрическое тождество $\tan(\pi - \theta) = \frac{\sin(\pi - \theta)}{\cos(\pi - \theta)} = \frac{\sin(\theta)}{-\cos(\theta)} = -\tan(\theta)$ для того, чтобы перевести $\tan(10\pi/13)$ в угол меньше $\pi/2$.

Таким образом, имеем:

$$\begin{aligned} \arctan(\tan(10\pi/13)) &= \arctan(\tan(10\pi/13 - \pi)) \\ &= \arctan\left(\tan\left(\frac{10\pi}{13}-\pi\right)\right) \\ &= \arctan\left(\tan\left(\frac{-3\pi}{13}\right)\right) \\ &= \arctan\left(\frac{\sin\left(\frac{-3\pi}{13}\right)}{\cos\left(\frac{-3\pi}{13}\right)}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{-\sin\left(\frac{3\pi}{13}\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{13}\right)}\right) \\ \end{aligned}$$

Заметим, что $\frac{3\pi}{13}$ является углом в первом квадранте, поэтому $\cos\left(\frac{3\pi}{13}\right) > 0$ и $\sin\left(\frac{3\pi}{13}\right) > 0$. Таким образом, мы можем записать:

$$\begin{aligned} \arctan(\tan(10\pi/13)) &= \arctan\left(\frac{-\sin\left(\frac{3\pi}{13}\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{13}\right)}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{13}\right)}{-\cos\left(\frac{3\pi}{13}\right)}\right) \\ &= \arctan\left(-\tan\left(\frac{3\pi}{13}\right)\right) \end{aligned}$$

Таким образом, ответ:

$\arctan(\tan(10\pi/13)) = \arctan(-\tan(3\pi/13))$

Заметим, что угол $3\pi/13$ не может быть записан в виде кратной дуги $\pi/4$. Поэтому, чтобы вычислить ответ, нам нужно использовать приближенное значение для этого угла.

Одним из способов вычислить значение $\arctan(-\tan(3\pi/13))$ является использование ряда Тейлора для функции $\arctan(x)$. В частности,