Question

При каких значениях параметра a уравнение x3-3x2+6=a имеет два корня?

Answer 1

X³-3x²+6=a
a=6
x³-3x²+6=6
x³-3x²=0
x²*(x-3)=0
x²=0
x₁=0
x-3=0
x₂=3.
Ответ: при a=6 x₁=0, x₂=3.

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^3-3x^2+6=a$ имело два корня, необходимо, чтобы его график пересекалось с горизонтальной прямой $y=a$ дважды.

Поскольку функция $f(x)=x^3-3x^2+6$ является непрерывной на всей числовой оси, мы можем проанализировать ее поведение при $x\to \pm\infty$ и найти, при каких значениях параметра $a$ график функции пересечет прямую $y=a$ дважды.

Когда $x\to\infty$, то $f(x)\to\infty$, а когда $x\to-\infty$, то $f(x)\to-\infty$. Это означает, что график функции $f(x)$ должен пересекать прямую $y=a$ на отрезке $[x_1,x_2]$, где $x_1$ - точка, где $f(x_1)=a$ и $x_2$ - точка, где $f(x_2)=a$.

Мы можем найти $x_1$ и $x_2$, решив уравнение $f(x)=a$ численно. Затем, если $x_1<x_2$, то график функции $f(x)$ пересекает прямую $y=a$ дважды, и уравнение $x^3-3x^2+6=a$ имеет два корня.

Однако, для удобства можно заметить, что функция $f(x)$ имеет минимум в точке $x=1$, и при $x\to \pm\infty$ функция стремится к $+\infty$, что означает, что график функции $f(x)$ пересекает прямую $y=a$ дважды для любого $a\le f(1)=4$.

Таким образом, уравнение $x^3-3x^2+6=a$ имеет два корня для любого $a\le 4$.