Question

Помогите пожалуйста.... при каких значениях "m" неравенство (m²+4m-5)x²-2(m+1)x+1>0 выполняется при любых действительных х

Answer 1

Обычно, если квадратное неравенство выполняется при любых действительных x, либо же напротив - не имеет решений, то дискриминант этого уравнения явно отрицательное число. К слову, если в трехчлене ax²+bx+c, где D<0 и a>0, то f(x)>0 при любом x.

Следовательно, нам необходим отрицательный дискриминант и положительный коэффициент старшего члена.

1). D/4=(m+1)²-(m²+4m-5)=m²+2m+1-m²-4m+5=6-2m=2(3-m)
2(3-m)<0
3-m<0
m>3

2). m²+4m-5>0
D/4=4+5=9
m₁=-2+3=1
m₂=-2-3=-5
_(+)__\-5__(-)__1/__(+)__
m∈(-∞;-5)∪(1;∞)

Объединив множества полученных значений m, утвердим окончательный ответ:
m∈(3 ; ∞)

Answer 2

Для того чтобы данное неравенство выполнялось при любых действительных x, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным, то есть чтобы выполнялось неравенство:

D = (2(m+1))² - 4(m²+4m-5) * 1 < 0

Упростим это неравенство:

4m² + 8m + 4 - 4m² - 16m + 20 < 0

12m + 24 < 0

m < -2

Таким образом, при всех значениях m < -2 неравенство (m²+4m-5)x²-2(m+1)x+1>0 будет выполняться при любых действительных x.