Question

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sn = 3n^2+7n. Найти первый член и разность прогрессии.

Answer 1

$S_{n}=3n^2+7n\\a_{1}=S_{1}=3*1^2+7*1=3+7=10\\S_{2}=3*2^2+7*2=12+14=26\\ a_{2}=S_{2}-a_{1}=26-10=16\\d=a_{2}-a_{1}=16-10=6\\\\a_{1}=10,d=6$

Answer 2

Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии мы можем воспользоваться свойствами этой прогрессии и формулами для суммы первых ее членов.

Известно, что сумма первых n членов арифметической прогрессии Sn выражается следующей формулой:

Sn = n * (a1 + an) / 2,

где a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.

Также известно, что по условию задачи

Sn = 3n^2 + 7n.

Подставим это выражение в формулу для суммы и получим:

3n^2 + 7n = n * (a1 + an) / 2.

Упростим это выражение, умножив обе его части на 2:

6n^2 + 14n = n * (a1 + an).

Теперь можно выразить разность прогрессии d через n, используя свойство арифметической прогрессии, что an = a1 + (n-1)*d:

6n^2 + 14n = n * (a1 + a1 + (n-1)*d) = n * (2a1 + (n-1)*d).

Таким образом, мы получаем уравнение:

6n^2 + 14n = n * (2a1 + (n-1)*d).

Разделим обе части уравнения на n:

2a1 + (n-1)*d = 6n + 14.

Теперь мы можем выразить a1 через d, зная, что первый член равен an - (n-1)*d:

a1 = an - (n-1)d = 2a1 + d - d(n-1),

что можно переписать в виде:

a1 = (6n + 14)/2 - d*(n-1) = 3n + 7 - d*(n-1).

Таким образом, мы получили формулы для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии:

a1 = 3n + 7 - d*(n-1),

d = 2a1/(n+1).

Теперь осталось только подставить значение n и решить полученные уравнения для a1 и d.