Question

Решить уравнение: 1. logx(2)−log4(x)+7/6=0 2.log3(3^x−8)=2-x

Answer 1

1. logx(2)−log4(x)+7/6=0, ОДЗ: x > 0
(log₂ 2 / log₂ x) - (1/2)*log₂ x + 7/6 = 0
1/(log₂ x) - (1/2)*log₂ x + 7/6 = 0
3log²₂ x - 7log₂ x - 6 = 0
Пусть log₂ x = z
3z² - 7z - 6 = 0
D = 49 + 4*3*6 = 121
z₁ = (7 - 11)/6 = - 1/3
z₂ = (7 + 11)/6 = 3
1) log₂ x = - 1/3
x = 2^(-1/3)
x₁ = 1/∛2
2) log₂ x = 3
x₂ = 2³
x₂ = 8 
2. log₃  (3^x−8 )= 2 - x, ОДЗ: 3^x - 8 > 0, 3^x > 8, x > log₃ 8
3^x - 8 = 3^(2 - x)
3^x - 8  = 9*(1/3^x)
3^(2x) - 8*(3^x) - 9 = 0
Пусть 3^x = z
z² - 8z - 9 = 0
z₁ = -1
z₂ = 9
1)  3^x = - 1, не имеет смысла
2)  3^x = 9 
3^x = 3²
x = 2

Answer 2

1. Начнем с уравнения:

logx(2) − log4(x) + 7/6 = 0

Сначала объединим логарифмы на левой стороне:

logx(2/4x) + 7/6 = 0

Упростим дробь в логарифме:

logx(1/2x) + 7/6 = 0

Перенесем 7/6 на правую сторону:

logx(1/2x) = -7/6

Теперь возьмем обе стороны в x в степени:

x^(logx(1/2x)) = x^(-7/6)

1/2x = x^(-7/6)

Умножим обе стороны на 2x:

1 = 2x^(-7/6)

Возведем обе стороны в -6/7:

1^(-6/7) = (2x^(-7/6))^(-6/7)

1 = 2^(-6/7) * x

x = 2^(6/7)

Ответ: x = 1.7818 (округлено до четырех знаков после запятой)

2. Начнем с уравнения:

log3(3^x − 8) = 2 − x

Возведем обе стороны уравнения в основание логарифма:

3^(log3(3^x − 8)) = 3^(2 − x)

3^x − 8 = 3^(2 − x)

Перенесем все члены на левую сторону:

3^x − 3^(2 − x) − 8 = 0

Это квадратное уравнение относительно 3^x. Решим его с помощью общей формулы для квадратного уравнения:

3^x = (3^(2 - x) + 8 ± sqrt((3^(2 - x) + 8)^2 - 4 * 1 * (-3^(2 - x)))) / 2

3^x = (3^(2 - x) + 8 ± sqrt(9 * 3^(2 - 2x) + 64)) / 2

3^x = (3^(2 - x) + 8 ± 7) / 2

Два возможных значения 3^x:

3^x = (3^(2 - x) + 15) / 2

3^x = (3^(2 - x) + 1) / 2

Решим каждое из этих уравнений относительно x.

Первое уравнение:

3^x = (3^(2 - x) + 15) / 2

Умножим обе стороны на 2:

2 * 3^x = 3^(2 - x) + 15

Перенесем 3^(2 - x) на левую сторону:

2 * 3^x − 3^(2 − x) = 15

Ум