Question

Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанный в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Есть формула Герона для площади и формула для вписанной окружности.
Неизвестные длины сторон a,b,c сократятся. 
p это полупериметр, 55
$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\\\ r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\ \frac{S}{r} = p\\ S = rp = 10*55=550$

Answer 2

Для решения задачи мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, которая выражается через его полупериметр и радиус вписанной окружности:

$S = pr$, где $p$ - полупериметр треугольника, а $r$ - радиус вписанной окружности.

Нам известен периметр треугольника $P = 110$, и одна из его сторон $a = 38$. Значит, две другие стороны в сумме равны $b+c = P-a = 72$.

Используя формулу для радиуса вписанной окружности, мы можем найти площадь треугольника:

$r = \frac{S}{p} \Rightarrow S = rp.$

Нам осталось найти полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности $r$.

Известно, что радиус вписанной окружности равен 10, а формула для радиуса вписанной окружности в треугольнике равна:

$r = \frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{1}{p}$.

Подставляем известные значения:

$10 = \frac{38+2c}{2}\cdot\frac{1}{p}$

$p = \frac{19}{5+c}$

Также мы знаем, что $b+c = 72$, поэтому:

$p = \frac{19}{5+c} = \frac{110-38}{2} = 36$.

Решив эту систему уравнений, находим:

$c = 14$, $b = 58$, $p = 36$.

Теперь, имея значение радиуса вписанной окружности $r = 10$ и полупериметра $p = 36$, можем найти площадь треугольника:

$S = rp = 10 \cdot 36 = 360.$

Ответ: площадь треугольника равна $360$.