Question

Найти предел функции lim┬(х→1)⁡〖(3-√(8+х))/(2-√(5-х))〗

Answer 1

Если подставить х=1, то видим что дробь обращается в нуль. Делить на нуль нельзя.
  Воспользуемся правилом лопиталя(Возьмём знаменатель и числитель дроби в производную)
$\lim_{x \to 1} \frac{(3- \sqrt{8+x})' }{(2- \sqrt{5-x} )'} = \lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 \sqrt{8+x} } }{ \frac{1}{2 \sqrt{5-x} } }= \lim_{x \to 1} \frac{-\sqrt{5-x}}{\sqrt{8+x}}=-\frac{2}{3}$

Answer 2

Чтобы найти предел функции, необходимо подставить значение, к которому переменная стремится, вместо переменной в выражении функции.

В данном случае, при x → 1, выражения в знаменателе и числителе функции будут стремиться к нулю, поэтому необходимо воспользоваться приемом рационализации, чтобы избавиться от корней в знаменателе и числителе.

Для этого умножим числитель и знаменатель функции на сопряженное выражение для знаменателя:

lim┬(х→1)⁡〖(3-√(8+х))/(2-√(5-х))〗 = lim┬(х→1)⁡〖(3-√(8+х))/(2-√(5-х)) × (2+√(5-х))/(2+√(5-х)) × (3+√(8+х))/(3+√(8+х))〗 =

lim┬(х→1)⁡〖(3(2+√(5-х)) - (2+√(5-х))√(8+х))/(4-(5-х))〗 =

lim┬(х→1)⁡〖(3(2+√(5-х)) - (2+√(5-х))√(8+х))/(-1+х)〗 =

Теперь мы можем подставить x = 1 в получившееся выражение, так как после рационализации корни исчезли из знаменателя и числителя:

= (3(2+√4) - (2+√4)√9)/(-1+1) = (6-6√9)/0

Выражение в знаменателе равно нулю, поэтому ответом на задачу является "деление на ноль", что означает, что предел не существует.