Question

Почтовый поезд, скорость которого на 15 км/ч больше скорости товарного поезда, употребляет на прохождение между городами A и B на 9 часов меньше товарного поезда, а скорый поезд, скорость которого на 10 км/ч больше скорости почтового поезда, тратит на тот же путь на 3 часа меньше почтового. Определить расстояние между пунктами и скорость каждого поезда.

Answer 1

Х (км/ч) - скорость товарного поезда
х+15  (км/ч) - скорость почтового поезда
х+15+10=х+25 (км/ч) - скорость скорого поезда
S - расстояние между пунктами
S  (ч) - время движения товарного поезда
х
  S   (ч) - время движения почтового поезда
x+15
  
  S    (ч) - время движения скорого поезда
x+25

Составляем систему уравнений:
{   S  -    S  =9                   {S ( 1  -   1  ) =9
    x     x+15                         (  x   x+15)
{   S   -   S    =3                {S (   1    -      1  )=3
   x+15  x+25                        (x+15    x+25)

{S  (x+15-x) =9              {S *    15   = 9             {S =9  :    15    
     x(x+15)                         x(x+15)                            х(х+15)
{S  (x+25-x-15) =3         {S *        10        =3     {S=3 :     10          
     (x+15)(x+25)                  (x+15)(x+25)                   (x+15)(x+25)

{S=   9x(x+15)           {S= 3x(x+15)
           15                            5
{S= 3(x+15)(x+25)      {S= 3(x+15)(x+25)
            10                           10

3x(x+15) = 3(x+15)(x+25)
      5                 10
Сокращаем на 3:
х(x+15) = (x+15)(x+25)
     5            10
Общий знаменатель: 10
2x(x+15)=(x+15)(x+25)
2x(x+15)-(x+15)(x+25)=0
(x+15)(2x-x-25)=0
(x+15)(x-25)=0
x+15=0                  x-25=0
x=-15                     x=25 (км/ч) - скорость товарного поезда
не подходит
по смыслу задачи.
S= 3x(x+15) = 3*25(25+15) = 75 * 40 =75*8=600 (км) - расстояние
           5              5                 5                              между пунктами

х+15=25+15=40 (км/ч) - скорость почтового поезда
х+25=25+25=50 (км/ч) - скорость скорого поезда
Ответ: 25 км/ч,   40 км/ч,   50 км/ч,  600 км.

Answer 2

Пусть расстояние между городами A и B равно d км, скорость товарного поезда - v км/ч.

Тогда скорость почтового поезда будет v + 15 км/ч, а скорость скорого поезда будет (v + 15) + 10 = v + 25 км/ч.

Запишем уравнения, описывающие время прохождения каждым из поездов расстояния между городами A и B:

Для товарного поезда: t1 = d / v

Для почтового поезда: t2 = d / (v + 15)

Для скорого поезда: t3 = d / (v + 25)

Запишем теперь систему уравнений, учитывая, что время прохождения почтовым поездом на 9 часов меньше, чем товарным, а скорым поездом на 3 часа меньше, чем почтовым:

t1 - t2 = 9

t2 - t3 = 3

Перенесем переменные и приведем подобные слагаемые:

d / v - d / (v + 15) = 9

d / (v + 15) - d / (v + 25) = 3

Для решения этой системы уравнений, умножим первое уравнение на (v + 15)(v + 25), а второе - на v(v + 25):

(d(v + 15)(v + 25)) / v(v + 15) - (d(v + 25)) / v(v + 15) = 9

(d(v + 15)) / (v + 15)(v + 25) - (d(v)) / v(v + 25) = 3

Далее приводим подобные слагаемые, сокращаем на d и переносим все в одну дробь:

10(v + 25) - 15v = 9v(v + 25) / (v + 15)

Отсюда получаем квадратное уравнение:

9v^2 + 330v - 6250 = 0

Решив его, получим два корня:

v1 = 50 км/ч и v2 = -75/9 км/ч

Поскольку скорость не может быть отрицательной, то v2 не подходит. Итак, скорость товарного поезда равна 50 км/ч.

Теперь можно найти расстояние между городами A и B, используя любое из уравнений, например, первое:

d = v1 * t1 = 50 * t1

Осталось найти время прохождения расстояния поездами. Подставляем полученные значения скоростей в уравнения для каждого поезда:

t1 = d / v1 = (50 *