Question

Доказать, что если lim x->x0 a'(x)/b'(x) не существует, то lim x-> x0 a(x)/b(x) тоже не существует при том, что а'(х) ~а (х) и в'(х) ~в (х) не понимаю как доказать, помогите, пожалуйста

Answer 1

Никто не понимает этого ))

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением эквивалентности функций:

Говорят, что функции a(x) и b(x) эквивалентны при x → x0, если lim x→x0 a(x)/b(x) = 1.

Также воспользуемся формулой Лопиталя: если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки x0, и g'(x) ≠ 0 в этой окрестности, и если lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0, то lim x→x0 f(x)/g(x) = lim x→x0 f'(x)/g'(x), при условии, что правый предел существует или равен ∞.

Предположим, что lim x→x0 a'(x)/b'(x) = L, где L может быть конечным или бесконечным числом. Тогда, используя формулу Лопиталя, получим:

lim x→x0 a(x)/b(x) = lim x→x0 (a'(x)/b'(x))/(1/b(x)/a(x)) = L/lim x→x0 b(x)/a(x).

Для дальнейшего рассмотрения двух случаев (L конечно и L бесконечно) нам понадобятся следующие утверждения:

• Если a(x) ~ A(x) и b(x) ~ B(x) при x → x0, то A(x)/B(x) ~ a(x)/b(x) при x → x0.
• Если a(x) ~ A(x) и b(x) ~ B(x) при x → x0, то a'(x)/b'(x) ~ A'(x)/B'(x) при x → x0.

Для доказательства первого утверждения рассмотрим функцию c(x) = a(x)/b(x). Тогда

c(x) - A(x)/B(x) = (a(x)B(x) - A(x)b(x))/b(x)B(x) = (a(x) - A(x) + A(x) - A(x)b(x)/B(x))/b(x).

Так как a(x) ~ A(x) и b(x) ~ B(x), то (a(x) - A(x))/b(x) и A(x) - A(x)b(x)/B(x) оба стремятся к 0 при x → x0. Следовательно, c(x) - A(x)/B(x) также стремится к 0 при x → x0, что и означает эквивалентность функций.

Для доказательства второго утверждения воспользуемся формулой Лопиталя:

lim x→x0 a'(x)/b'(x) = lim x→x0 A'(x)/B'(x) = L.

Теперь рассмотрим два случая: