Question

помогите срочно надо!!!!!!! найдите наибольшее и наименьшее значение функции : у=1/3 х^3-x^2+1 на отрезке (-1;3)

Answer 1

Требуется найти критические точки функции, которые определяются производной, приравненной к 0:
y' = x²-2x = х(х-2) = 0.
Отсюда 2 корня: х₁ = 0
                               х₂ = 2.
Теперь надо определить, где минимум, а где максимум,
Если при прохождении через критическую точку  производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а если меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум. 
Найдём значения производной при х = -1 и х = 1
х = -1  y' = (-1)²-2*(-1) = 1+2 = 3.
x = 1   y' = 1²-2*1 = 1-2 = -1.
Знак меняется с + на -  (это максимум).
Так же надо поступить и с второй точкой.
В приложении даётся график для наглядности определения точек.

Answer 2

Для решения данной задачи нужно найти значения функции y для границ отрезка (-1;3) и стационарных точек, то есть точек, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем значения функции y в границах отрезка (-1;3):

• при x = -1: y = (1/3) * (-1)^3 - (-1)^2 + 1 = 1/3 + 1 + 1 = 7/3
• при x = 3: y = (1/3) * 3^3 - 3^2 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1

Таким образом, на отрезке (-1;3) наибольшее значение функции равно 7/3, а наименьшее значение функции равно 1.

2. Найдем стационарные точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует:

y' = x^2 - 2x = x(x - 2)

Точки, где производная равна нулю, являются стационарными точками:

x = 0 или x = 2.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• при x = 0: y = (1/3) * 0^3 - 0^2 + 1 = 1
• при x = 2: y = (1/3) * 2^3 - 2^2 + 1 = 8/3 - 4 + 1 = 1/3

Таким образом, наименьшее значение функции равно 1/3 и достигается в точке x = 2, а наибольшее значение функции равно 7/3 и достигается в точке x = -1.