Question

Докажите что выражение 4 в 24 степени - 4 в 21 степени кратно 126

Answer 1

4^24-4^21=4^20*(4^4-4)=4^20*252. 4^20*2*126/126=4^20*2.

Answer 2

Для доказательства кратности выражения 4 в 24 степени - 4 в 21 степени числу 126, мы можем воспользоваться свойством делимости, известным как "малая теорема Ферма". Она утверждает, что если p - простое число, а a - целое число, не кратное p, то a в степени p-1 сравнимо с 1 по модулю p, то есть a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Для нашего случая, число 126 не является простым, но мы можем использовать его разложение на простые множители: 126 = 237.

Теперь рассмотрим каждый из множителей по отдельности:

1. 4 и 126 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому мы можем применить малую теорему Ферма для простого числа 3, поскольку 4 не кратно 3:

4^(3-1) ≡ 1 (mod 3) 4^2 ≡ 1 (mod 3)

Таким образом, 4 в любой четной степени будет сравнимо с 1 по модулю 3. В частности, 4 в 24 степени и 4 в 21 степени будут сравнимы с 1 по модулю 3:

4^24 ≡ 1 (mod 3) 4^21 ≡ 1 (mod 3)

2. Аналогично, мы можем применить малую теорему Ферма для простого числа 7, поскольку 4 не кратно 7:

4^(7-1) ≡ 1 (mod 7) 4^6 ≡ 1 (mod 7)

Таким образом, 4 в любой шестой степени будет сравнимо с 1 по модулю 7. В частности, 4 в 24 степени и 4 в 21 степени будут сравнимы с 1 по модулю 7:

4^24 ≡ 1 (mod 7) 4^21 ≡ 1 (mod 7)

3. Наконец, мы можем рассмотреть множитель 2. Заметим, что 4 в любой степени будет четным числом, а значит, его разность с 4 в любой другой степени будет кратна 2. То есть:

4^24 - 4^21 ≡ 0 (mod 2)

Таким образом, мы получили, что выражение 4 в 24 степени - 4 в 21 степени сравнимо с 0 по модулю каждого из простых множителей числа 126: 2, 3 и 7. Так как 2, 3 и 7 вза