Question

Если x+y=xy=6, чему будет равен x3+y3?

Answer 1

$\begin{cases}x+y=6\smallskip\\xy=6\end{cases}\bigskip\\x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\bigskip\\\left(x+y\right)^2=6^2\medskip\\x^2+2xy+y^2=36\medskip\\x^2+y^2=36-2xy\medskip\\x^2+y^2=36-2\cdot 6=36-12=24\bigskip\\x^3+y^3=6\left(24-6\right)=6\cdot 18=108$

Ответ. $108$

Answer 2

Мы можем решить эту задачу с помощью алгебраических вычислений.

Заметим, что из уравнения x+y=6 можно выразить, например, одну из переменных через другую: y=6-x. Подставим это выражение для y в уравнение xy=6:

x(6-x)=6

6x-x^2=6

x^2-6x+6=0

Решая это квадратное уравнение, получим:

x=3+√3 или x=3-√3

Таким образом, мы получили два возможных значения для переменной x. Заметим также, что из уравнения x+y=6 следует, что y=6-x, то есть для каждого из значений x мы можем найти соответствующее значение y.

Теперь вычислим x^3+y^3:

x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)

Мы уже знаем значения x+y и xy:

x+y=6 xy=6

Подставляя эти значения, получаем:

x^3+y^3 = 6(x^2-6+y^2)

Заметим, что x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=36-12=24. Таким образом,

x^3+y^3 = 6(x^2-6+y^2) = 6(x^2+y^2-6) = 6(24-6) = 108

Таким образом, мы получаем, что x^3+y^3 равно 108, независимо от того, какое из двух возможных значений мы выберем для переменной x.