Question

Найти все натуральные значения n при которых значение выражения является целым числом: n-1/n-6

Answer 1

$\frac{n-1}{n-6}=\frac{(n-6)+5}{n-6}=1+\frac{5}{n-6}\Rightarrow$ 5 делится на (n-6). Возможны 4 случая.

1) n-6=5; n=11

2) n-6=1; n=7

3) n-6= - 1; n=5

4) n-6= - 5; n=1

Ответ: 11; 7; 5; 1

Answer 2

Чтобы значение выражения n - 1 / n - 6 было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы n - 1 было кратно n - 6 (или, эквивалентно, чтобы n - 6 было делителем n - 1).

Можно записать это условие в виде уравнения:

n - 1 = k(n - 6),

где k - некоторое целое число. Раскрывая скобки, получаем

n - 1 = kn - 6k,

или

(n - k) = 6k - 1.

Таким образом, мы получили уравнение, связывающее n и k. Заметим, что для каждого целого k, правая часть уравнения 6k - 1 будет иметь остаток -1 при делении на 6. Следовательно, левая часть (n - k) должна иметь такой же остаток при делении на 6.

Рассмотрим все возможные остатки n при делении на 6:

• при n = 1 + 6k, остаток (n - k) будет равен 1, а значит, такое значение n не подходит;
• при n = 2 + 6k, остаток (n - k) будет равен 0, что соответствует целому числу при k = 1, то есть при n = 8;
• при n = 3 + 6k, остаток (n - k) будет равен 2, а значит, такое значение n не подходит;
• при n = 4 + 6k, остаток (n - k) будет равен 2, а значит, такое значение n не подходит;
• при n = 5 + 6k, остаток (n - k) будет равен 4, а значит, такое значение n не подходит;
• при n = 6 + 6k, остаток (n - k) будет равен 0, что соответствует целому числу при k = 1, то есть при n = 7.

Таким образом, единственными значениями n, при которых выражение n - 1 / n - 6 является целым числом, являются 8 и 7.