Question

Тригонометрия. Упростите. Cpoчно! 1) (sin^2x - cos^2x)^2 + sin^2*2x 2)((1/1-tgx) - (1/1+tgx))*(cos^2*x) 3) (tg^3*x-tg^3*y)/((1+tgxtgy)(tg^2*x+tgxtgy+tg^2*y))

Answer 1

$( sin^{2} x - cos^{2} x)^{2} + sin^{2} 2 x= cos^{2} 2x + sin^{2} 2x= 1$
$\frac{1}{1-tgx} - \frac{1}{1+tgx} * cos2x = \frac{1+tgx-1+tgx}{(1-tgx)(1+tgx)} *cos2x = \frac{2 tgx}{1-tg^{2}x} * cos2x = tg2x* cos2x = \frac{sin2x * cos2x}{cos2x} = sin2x$
$\frac{tg^{3} x-tg^{3}y}{(1+tgx tgy)*(tg^{2}+tgx tgy+tg^{2})} = \frac{(tgx-tgy)*(tg^{2}+tgx tgy+tg^{2})}{(1+tgx tgy)*(tg^{2}+tgx tgy+tg^{2})} = \frac{(tg x-tg y)}{(1+tg x tg y)} = tg (x-y)$

Answer 2

1. Начнём с формулы тождества тригонометрии, которое гласит:

sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x)

Используя это тождество, можем упростить первое выражение:

(sin^2(x) - cos^2(x))^2 + sin^2(2x) = cos^2(2x) + sin^2(2x) = 1

Ответ: 1.

2. Для упрощения второго выражения воспользуемся формулой:

1 + tg^2(x) = sec^2(x)

Также заметим, что (1/1-tg(x)) - (1/1+tg(x)) = 2tg(x) / (1 - tg^2(x))

Подставляя эти выражения, получаем:

((1/1-tgx) - (1/1+tgx))*(cos^2(x)) = (2tg(x) / (1 - tg^2(x))) * cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)

Ответ: 2sin(x)cos(x).

3. Для упрощения третьего выражения можно разложить числитель на множители, воспользовавшись формулой:

a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + ab + b^2)

Применяя эту формулу, получаем:

tg^3(x) - tg^3(y) = (tg(x) - tg(y)) * (tg^2(x) + tg(x)tg(y) + tg^2(y))

Заметим, что знаменатель можно представить в виде:

(1 + tg(x)tg(y)) * (tg^2(x) + tg(x)tg(y) + tg^2(y))

Тогда, подставляя числитель и знаменатель в изначальное выражение, получаем:

(tg^3(x) - tg^3(y)) / ((1 + tg(x)tg(y)) * (tg^2(x) + tg(x)tg(y) + tg^2(y))) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x)tg(y))

Ответ: (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x)tg(y)).