Question

Помогите пожалуйста с уравнением: sin^4 (x) + cos^4 (x)=sin^2(2x)-1/2

Answer 1

Решение смотрите на фотографии....

Answer 2

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования левой и правой частей уравнения и получения эквивалентного уравнения. Вот как это можно сделать:

sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 (тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x)) = sin^2(x) + cos^2(x) (тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1) = 1

sin^2(2x) - 1/2 = (2sin(x)cos(x))^2 - 1/2 (тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x)) = 2sin^2(x)cos^2(x) - 1/2 = (1 - cos^2(x))(1 - sin^2(x)) - 1/2 (тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1) = 1 - cos^2(x) - sin^2(x) + cos^2(x)sin^2(x) - 1/2 = cos^2(x)sin^2(x) - 1/2

Таким образом, мы получаем эквивалентное уравнение:

1 = cos^2(x)sin^2(x) - 1/2

Добавляя 1/2 к обеим сторонам, получаем:

3/2 = cos^2(x)sin^2(x)

Теперь мы можем использовать тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x), чтобы выразить произведение sin^2(x)cos^2(x) через sin(2x):

3/2 = (sin(2x)/2)^2 = sin^2(2x)/4

Умножая обе стороны на 4/3, мы получаем:

2 = sin^2(2x)

Используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем выразить cos^2(x) через sin^2(x):

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Тогда мы можем записать наше уравнение в терминах sin^2(x):

sin^2(2x) - 1/2 = sin^2(x)(1 - sin^2(x)) - 1/2 = 2

2sin^4(x) - 2sin^2(x) - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin^2(x). Решив его, мы найдем два возможных значения sin^2(x), которые затем можно использовать для нахождения соответствующих значений x. В общем случае, для решения квадратных уравнений можно использовать формулу:

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

Применяя это к нашему уравнению, мы получаем:

sin^2(x) = (