Question

Докажите, что n(n+1)(n+2) делится на 6 при любом целом n

Answer 1

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3. n, n+1, n+2 - это три последовательных числа. Среди трех последовательных чисел хотя бы одно делится на 2 и одно делится на 3.Тогда и произведение этих чисел делится на 2 и на 3, а, следовательно, - на 6.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что n(n+1)(n+2) делится на 6 при любом целом n, необходимо показать, что это произведение кратно 6, то есть что оно делится на 2 и на 3.

1. Кратность 2: Умножение любого целого числа на 2 дает четное число, а любое четное число делится на 2 без остатка. При этом одно из трех последовательных чисел n, n+1, n+2, обязательно будет четным, а значит произведение n(n+1)(n+2) будет кратно 2.

2. Кратность 3: Пусть n - это любое целое число. Тогда одно из трех последовательных чисел n, n+1, n+2, обязательно делится на 3, так как в тройке из трех последовательных целых чисел обязательно будет число, кратное 3. Значит, одно из сомножителей n, n+1 или n+2 будет кратным 3. А поскольку два из этих трех чисел уже являются четными, то они также будут кратными 6. Таким образом, произведение n(n+1)(n+2) будет кратно 6.

Таким образом, мы доказали, что n(n+1)(n+2) делится на 6 при любом целом n.