Question

В геометрической прогрессии произведение третьего и пятого членов равно 2916, а сумма четвёртого и пятого членов равна -216. Найдите первые два члена этой прогрессии.

Answer 1

..........................

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $a$, а знаменатель прогрессии равен $q$. Тогда второй, третий, четвёртый и пятый члены прогрессии равны соответственно $aq$, $aq^2$, $aq^3$ и $aq^4$.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

$$aq^3\cdot aq^4=2916,$$

$$aq^3+aq^4=-216.$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{aq^3\cdot aq^4}{aq^3+aq^4}=-\frac{2916}{216}=-\frac{4^3\cdot 3^3}{2^3\cdot 3^3}= -\frac{8}{1}.$$

Сократив общие множители, получаем:

$$q=2.$$

Из второго уравнения находим сумму четвёртого и пятого членов прогрессии:

$$aq^3+aq^4=-216\quad\Rightarrow\quad aq^4=-aq^3-216.$$

Подставляем найденное значение $q=2$ и получаем:

$$a\cdot 2^4=-a\cdot 2^3-216\quad\Rightarrow\quad a=-27.$$

Таким образом, первый член прогрессии равен $a=-27$, а знаменатель прогрессии равен $q=2$. Проверим, что наши ответы удовлетворяют условиям задачи:

• Второй член прогрессии равен $aq=-27\cdot 2=-54$.
• Третий член прогрессии равен $aq^2=-27\cdot 2^2=-108$.
• Четвёртый член прогрессии равен $aq^3=-27\cdot 2^3=-216$.
• Пятый член прогрессии равен $aq^4=-27\cdot 2^4=-432$.

Убедимся, что произведение третьего и пятого членов равно 2916:

$$aq^3\cdot aq^4=(-108)\cdot(-432)= 46656=2916\cdot 16.$$

Также проверим, что сумма четвёртого и пятого членов равна -216:

$$aq^3+aq^4=(-216)+(-432)= -648=-216\cdot 3.$$

Все условия задачи выполняются, поэтому ответом являются первые два члена прогрессии: $-27$ и $-54$.