Question

При якому значенні a графік квадратичної функції y = ax^2 - (a - 3) x + 1 дотикається осі абсцис?

Answer 1

y = ax² - (a - 3) x + 1

ax² - (a - 3) x + 1=0 D=(а-3)²-4а=0

а²-6а+9-4а=0

а²-10а+9=0 D=100-36=8²

а₁=(10+8)/2=9

а₂=(10-8)/2=1

Answer 2

Для того, щоб графік квадратичної функції дотикалася осі абсцис, її вершина повинна лежати на цій осі, оскільки вершина графіку функції знаходиться на відстані a/2 від осі симетрії, яка є вертикальною лінією, яка проходить через середину відрізка між двома коренями функції.

Оскільки ось абсцис - це горизонтальна лінія на рівні y = 0, то вершина графіку має мати координату y = 0.

Запишемо формулу координат вершини графіку квадратичної функції:

x = -b / (2a), y = f(x) = a x^2 - (a - 3) x + 1

де a, b, c - коефіцієнти рівняння квадратичної функції.

При цьому, якщо вершина графіку лежить на осі абсцис, то y = 0 і маємо:

0 = a (-b / (2a))^2 - (a - 3) (-b / (2a)) + 1

Пошуком розв'язків цього рівняння знайдемо значення параметру a, при якому графік квадратичної функції дотикається осі абсцис:

0 = a (b^2 / (4a^2)) + (a - 3) (b / (2a)) + 1

0 = b^2 / (4a) - (a - 3) b / (2a) + 1

0 = b^2 - 2b(a - 3) + 4a

0 = (b - 2a) (b - 2(a - 3))

Таким чином, маємо два розв'язки:

b - 2a = 0, тобто b = 2a

або

b - 2(a - 3) = 0, тобто b = 2(a - 3)

Отже, для того, щоб графік квадратичної функції дотикався осі абсцис, необхідно, щоб один з цих двох виразів b = 2a або b = 2(a - 3) дорівнював нулю.

Зауважимо, що b = -(a - 3), оскільки коефіцієнт перед x у в