Question

Найдите наибольшее значение функции y=log9(2-x^2+2x)+4

Answer 1

Y=log9(2-x^2+2x)+4
Под знаком логарифма квадратичная функция 2-x^2+2x.
График - парабола, ветви направлены вниз, т.к. a=-1 <0.
Абсцисса вершины параболы:
Х в.= -b/2a=-2/-2=1
Проверим, принадлежит ли полученное значение Х области определения, ведь выражение под знаком логарифма должно быть числом положительным: 2-1^2+2*1=3 >0. Всё в порядке.
Итак,в точке х=1 функция f(x)=2-x^2+2x принимает наибольшее значение.
Функция log9(x) - монотонная, значит функция y=log9(2-x^2+2x)+4 в точке х=1 также принимает наибольшее значение.Вычислим его:
У наиб.=y(1)= log9(3) +4= 0,5+4=4,5
Ответ: у наиб.=4,5

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции сначала необходимо найти экстремумы функции. Для этого найдем производную функции y по x:

y' = [1/(ln9)*(2x-2)] / [2-x^2+2x]

Чтобы найти точки экстремума, нужно решить уравнение y' = 0:

[1/(ln9)*(2x-2)] / [2-x^2+2x] = 0

2x - 2 = 0

x = 1

Точка x=1 является точкой минимума функции, так как при x < 1 производная функции отрицательна, а при x > 1 - положительна.

Теперь найдем значение функции в точке минимума и на краях области определения функции.

y(1) = log9(-1+2+2) + 4 = log9(3) + 4

Так как логарифмы с основанием 9 и большим аргументом возрастают медленнее, чем логарифмы с меньшим основанием, то:

log9(3) < log2(3)

Поэтому:

y(1) < log2(3) + 4

Так как функция имеет верхнюю границу при x = -1 и x = 3, то наибольшее значение функции y достигается при x = -1 или x = 3.

y(-1) = log9(-1+2-2) + 4 = log9(-1) + 4

y(3) = log9(-1+2+6) + 4 = log9(7) + 4

Таким образом, наибольшее значение функции y равно log9(7) + 4 и достигается при x = 3.