Question

Решить в целых числах уравнение 9x + 2 = (y+1)y

Answer 1

Обозначим y = 3k + d,

k, d - целые, 0 <= d <= 2

9x + 2 = (3k+d+1)(3k+d) = 9k^2 + 3k(2d+1) + (d+1)d

3*(3x - 3k^2 - k(2d+1)) = (d+1)d - 2

--> (d+1)d - 2 делится на 3

d = 0 -> 1*0-2 = -2 - не делится

d = 1 -> 2*1-2 = 0 - делится

d = 2 -> 3*2-2 = 4 - не делится

--> y = 3k + 1

9x + 2 = (3k+2)(3k+1) = 9k^2 + 9k + 2

9x = 9(k^2 + k)

x = k^2 + k - целое для любого целого значения k

Ответ:

x = k^2 + k

y = 3k + 1

Для всех целых k

Answer 2

Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена: $y^2 + y - 9x - 2 = 0$

Для того чтобы найти целочисленные решения этого уравнения, воспользуемся критерием целочисленности корней квадратного трехчлена: целочисленные корни есть только тогда, когда его дискриминант является квадратом целого числа.

Дискриминант этого уравнения равен: $D = 1 + 4(9x+2) = 4\cdot9x+9 = 9(4x+1)$

Для того чтобы дискриминант был квадратом целого числа, выражение $(4x+1)$ должно быть квадратом целого числа. Это выполнено только при $4x+1 = 9k^2$, где $k$ – целое число.

Решив это уравнение, получим $x = \frac{9k^2 - 1}{4}$.

Таким образом, все целочисленные решения уравнения $9x + 2 = (y+1)y$ задаются выражением:

$x = \frac{9k^2 - 1}{4}, \quad y = \frac{-1\pm\sqrt{1+36k^2}}{2}$

При этом $\sqrt{1+36k^2}$ должно быть нечётным, чтобы корень $y$ был целым числом. Отрицательный корень можно отбросить, так как он не приводит к целочисленным решениям.