Question

Помогите решить уравнение:6cos²x+4sinxcosx=1

Answer 1

6*cos^2 x + 4*sin x*cos x = 1

6*cos^2 x + 4*sin x*cos x = sin^2 x + cos^2 x

sin^2 x - 4*sin x*cos x - 5*cos^2 x = 0

Убедимся , что cos x = 0 не является решением. Подставляя в исходное уравнение “0” вместо cos x, получаем неравенство 0 ≠ 1. Поэтому можем почленно поделить уравнение на cos²x.

tg^2 x - 4*tg x - 5 = 0

tg x = t

t^2 - 4t - 5 = 0

t1 = -1, t2 = 5

tg x = -1, tg x = 5

x = -π/4 + πn, n є Z

x = arc tg 5 + πm, m є Z

Answer 2

Начнем с преобразования левой части уравнения, используя тригонометрические тождества:

6cos²x + 4sinxcosx = 6cos²x + 2sin2x + 2sinx = 4cos²x + 2sinx + 2 = 1

Здесь мы использовали тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sinx cosx и выражение 6cos²x через 4cos²x.

Теперь приведем уравнение к квадратному виду относительно sinx:

4cos²x + 2sinx + 2 = 1

4cos²x + 2sinx + 1 = 0

Используя формулу квадратного трехчлена, получаем:

sinx = (-2 ± √2)/4

sinx = -0.8536 или sinx = -0.1464

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этим уравнениям, используя функцию обратного синуса (sin⁻¹):

x = sin⁻¹(-0.8536) ≈ -58.6° + 360k° или x ≈ 238.6° + 360k°, где k - целое число.

x = sin⁻¹(-0.1464) ≈ -9.2° + 360k° или x ≈ 189.2° + 360k°, где k - целое число.

Таким образом, уравнение имеет четыре решения в интервале [0, 360°]:

x ≈ 238.6°, 301.4°, 350.8°, 9.2°