Question

При каком значении параметра р функция у=3x^2 +6px +4p^2 а) возрастает на промежутке [4;+∞); б)убывает на промежутке (-∞;-5];

Answer 1

Y =3x² +6px +4p² =3(x+p)² +p² ;
Вершина параболы  в точке  B(-p ; p²) ; ветви направлены вверх
Возрастает  в любой промежутке  [a; b) , если a ≥ -p  ( расположены на правой ветви параболы). 

а)  4 ≥ - p ⇒  p ≥  - 4 ..
P∈ [ - 4 ; ∞ ) .

б) Функция  убывает   в любой промежутке ( -∞;с] , если с  ≤  -p  ( расположены на левой ветви параболы ) . 
5  ≤ -p ⇒ p ≤ -5   т..е.   P∈ (∞ -5 ] .

Answer 2

Для определения возрастания или убывания функции необходимо вычислить ее производную и исследовать ее знак на заданном промежутке.

a) Для того чтобы функция возрастала на промежутке [4;+∞), ее производная должна быть положительной на этом промежутке. Найдем производную функции y:

y' = 6x + 6p

Знак производной зависит от знака выражения 6x + 6p. Если 6x + 6p > 0, то y' > 0, и функция возрастает. Если 6x + 6p < 0, то y' < 0, и функция убывает. Если 6x + 6p = 0, то y' = 0, и функция имеет экстремум.

Чтобы функция возрастала на промежутке [4;+∞), необходимо, чтобы производная была положительной при x ≥ 4. Подставляя x = 4, получаем:

y'(4) = 6(4) + 6p = 24 + 6p

Чтобы y'(4) было положительным, необходимо, чтобы p > -4. Таким образом, функция возрастает на промежутке [4;+∞), если p > -4.

б) Для того чтобы функция убывала на промежутке (-∞;-5], ее производная должна быть отрицательной на этом промежутке. Найдем производную функции y:

y' = 6x + 6p

Знак производной зависит от знака выражения 6x + 6p. Если 6x + 6p > 0, то y' > 0, и функция возрастает. Если 6x + 6p < 0, то y' < 0, и функция убывает. Если 6x + 6p = 0, то y' = 0, и функция имеет экстремум.

Чтобы функция убывала на промежутке (-∞;-5], необходимо, чтобы производная была отрицательной при x ≤ -5. Подставляя x = -5, получаем:

y'(-5) = 6(-5) + 6p = -30 + 6p

Чтобы y'(-5) было отрицательным, необходимо, чтобы p < 5. Таким образом, функция убывает на промежутке (-∞;-5], если p < 5.