Question

Найти неопределенный интеграл по частям (lnx/(корень 3 степени из х)) dx

Answer 1

$\int \frac{lnx}{\sqrt[3]{x}}dx=[\, u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=\frac{dx}{\sqrt[3]{x}},\; v=\frac{3x^{2/3}}{2}\, ]=\\\\=\frac{3}{2}\cdot x^{2/3}\cdot lnx-\frac{3}{2}\int \frac{x^{2/3}}{x}dx=\frac{3}{2}\cdot x^{2/3}\cdot lnx-\frac{3}{2}\int x^{-1/3}dx=\\\\=\frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{x^2}\cdot lnx-\frac{3}{2}\cdot \frac{3x^{2/3}}{2}+C=\frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{x^2}\cdot (lnx-\frac{3}{2})+C$

Answer 2

Для решения этого интеграла мы будем использовать интегрирование по частям, где одна функция будет выступать в качестве "u", а другая - в качестве "dv". Выберем:

u = ln(x) dv = x^(-3/2) dx

Тогда:

du/dx = 1/x v = (x^(-3/2))/( (-3/2) + 1) = -2/3x^(3/2)

Теперь мы можем записать формулу для интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

Подставляем значения "u" и "v":

∫ (ln(x))(x^(-3/2)) dx = (ln(x))(-2/3x^(3/2)) - ∫ (-2/3x^(3/2))(1/x) dx

Упрощаем:

∫ (ln(x))(x^(-3/2)) dx = (-2/3)(ln(x))(x^(-3/2)) + (2/3)∫(x^(-5/2)) dx

Интегрируем:

∫ (ln(x))(x^(-3/2)) dx = (-2/3)(ln(x))(x^(-3/2)) - (2/3)(x^(-3/2))/( (-3/2) + 1) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл от (ln(x))/(корень 3 степени из х) равен:

∫ (ln(x))(x^(-3/2)) dx = (-2/3)(ln(x))(x^(-3/2)) - (2/3)(x^(-3/2))/( (-3/2) + 1) + C