Question

Докажите, что значение выражения 2 в 15 степени + 3 в кубе делится нацело на 35

Answer 1

2^15+3^3= 32768+27=32765
32765/35= 937

Answer 2

Для того чтобы доказать, что значение выражения 2 в 15 степени + 3 в кубе делится нацело на 35, необходимо показать, что это выражение кратно 35, то есть делится на 35 без остатка.

Для начала, найдем остатки от деления 2 в 15 степени и 3 в кубе на 5, так как 35 = 5 * 7:

• 2 в 15 степени = 32768. Остаток от деления 32768 на 5 равен 3.
• 3 в кубе = 27. Остаток от деления 27 на 5 равен 2.

Таким образом, можно записать:

2 в 15 степени + 3 в кубе = (2 в 15 степени) + (3 в кубе) = 32768 + 27 = 32795.

Для того чтобы доказать, что это выражение делится нацело на 35, необходимо показать, что оно кратно и 5, и 7.

Мы уже показали, что остаток от деления на 5 равен 3, а значит это выражение не кратно 5.

Остаток от деления на 7 можно найти с помощью малой теоремы Ферма:

2 в 6 степени = 64 = 7 * 9 + 1.

Таким образом, 2 в 6 степени сравнимо с 1 по модулю 7. А значит:

2 в 15 степени = (2 в 6 степени) в квадрате * 2 в 3 степени = 1 в квадрате * 8 = 8.

Остаток от деления 8 на 7 равен 1.

3 в кубе = 3 * 3 * 3 = 27 = 7 * 3 + 6.

Таким образом, остаток от деления 3 в кубе на 7 равен 6.

Теперь можно записать:

2 в 15 степени + 3 в кубе = 32795 = (7 * 4699 + 2) * 5 + 6.

Как видно, это выражение делится на 7 и на 5 без остатка, а значит кратно 35.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения 2 в 15 степени + 3 в кубе делится нацело на 35.