Question

Даю 35 баллов!! Представьте в тригонометрической и показательной форме комплексное число z=-1+i. С разъяснениями.

Answer 1

Общий вид комплексного числа следующее $z=r(\cos \phi+i\sin \phi)$. Для этого сначала найдем модуль комплексного числа

$|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$

$z=-1+i=|z|(-\frac{1}{|z|}+\frac{1}{|z|}i)=\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)$

$\cos \phi=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \sin\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Косинус отрицателен, а синус положителен, значит это вторая четверть и угол нужно найти именно во второй четверти, это будет $\phi=\frac{3\pi}{4}$

$z=-1+i=\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

Answer 2

Комплексное число можно представить в тригонометрической и показательной форме с использованием формулы Эйлера. Давайте представим комплексное число z = -1 + i в обоих этих формах.

1. Тригонометрическая форма: В тригонометрической форме комплексное число представляется в виде z = r(cosθ + isinθ), где r - модуль комплексного числа, а θ - аргумент (угол).

Для вычисления модуля r используется формула модуля комплексного числа: r = √(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - действительная часть комплексного числа, а Im(z) - мнимая часть комплексного числа.

В нашем случае: Re(z) = -1 (действительная часть) Im(z) = 1 (мнимая часть)

r = √((-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1) = √2

Аргумент (θ) можно найти, используя формулу аргумента комплексного числа: θ = arctan(Im(z)/Re(z)).

В нашем случае: θ = arctan(1/(-1)) = arctan(-1) = -π/4

Таким образом, комплексное число z = -1 + i в тригонометрической форме будет выглядеть как z = √2 * (cos(-π/4) + isin(-π/4)).

2. Показательная форма: В показательной форме комплексное число представляется в виде z = re^(iθ), где r - модуль комплексного числа, а θ - аргумент (угол).

В нашем случае, мы уже вычислили модуль r и аргумент θ в предыдущем разделе: r = √2 θ = -π/4

Таким образом, комплексное число z = -1 + i в показательной форме будет выглядеть как z = √2 * e^(-iπ/4).

Это две эквивалентные формы представления комплексного числа z = -1 + i.