Question

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна d и образует с боковым ребром угол α. Определить объем призмы.

Answer 1

V=So*H, где So – площадь основания, H – высота пирамиды.
H=d*cos(a).
So=b^2, где b – сторона основания.
b=d*sin(a)/sqrt(2).
So=(d*sin(a))^2/2=(d^2*(1-(cos(a))^2))/2.
V=d^3*cos(a)*(1-(cos(a))^2)/2.

Answer 2

Обозначим высоту призмы через h. Так как призма правильная, то ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками со стороной d и углом α между этой стороной и высотой h. Таким образом, высота боковой грани равна h cos(α/2), а площадь боковой грани равна (1/2) d h cos(α/2).

Так как у призмы две равные боковые грани, то ее объем можно найти по формуле:

V = S основания * h

где S основания - площадь основания призмы.

Основание призмы - это четырехугольник со стороной d и диагональю d, который можно разбить на два равнобедренных треугольника со сторонами d, d/2 и углом между этими сторонами α. Площадь каждого из этих треугольников равна:

(1/2) d (d/2) sin(α) = (1/4) d^2 sin(α)

Таким образом, площадь основания призмы равна:

S основания = 2 * (1/4) d^2 sin(α) = (1/2) d^2 sin(α)

Подставляя это выражение для S основания и выражение для высоты боковой грани, получаем:

V = S основания * h = (1/2) d^2 sin(α) * h

Таким образом, объем призмы равен (1/2) d^2 sin(α) * h.