Question

найдите ,при каком значении переменной a числа 3a+1 ;a+5; a-7;будут помледовательными членами геометрической прогрессии.найдите эти числа

Answer 1

Признак геометрической прогрессии:

$b_n^2=b_{n-1}*b_{n+1}$
$...;\ \ 3a+1;\ a+5;\ a-7;\ ...\\\\ (a+5)^2=(3a+1)*(a-7)\\\\ a^2+10a+25=3a^2-21a+a-7\\\\ 2a^2-30a-32=0\\\\ a^2-15a-16=0\\\\ a^2-16a+a-16=0\\\\ a*(a-16)+1*(a-16)=0\\\\ (a-16)*(a+1)=0\\\\ a-16=0\ \ or\ \ a+1=0 a=16\ \ or\ \a=-1$

Ответ:  $49;\ 21;\ 9\ \ or\ \ -2;\ 4;\ -8$

Answer 2

Для того чтобы эти числа были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться соотношение:

(a + 5)/(3a + 1) = (a - 7)/(a + 5)

Перемножим обе части этого уравнения и приведем подобные:

(a + 5)² = (a - 7)(3a + 1)

a² + 10a + 25 = 3a² - 20a - 7

2a² - 30a - 32 = 0

a² - 15a - 16 = 0

Решив это квадратное уравнение, получаем:

a = -1 или a = 16

Проверим оба значения, подставив их в исходное условие:

1. a = -1:

Числа равны:

3a+1 = 2 a+5 = 4 a-7 = -8

Отношения соседних членов равны:

4/2 = 2 -8/4 = -2

Поскольку отношения не равны, это значение не подходит.

2. a = 16:

Числа равны:

3a+1 = 49 a+5 = 21 a-7 = 9

Отношения соседних членов равны:

21/49 = 3/7 9/21 = 3/7

Поскольку отношения равны, это значение подходит.

Итак, числа 9, 21, 49 являются последовательными членами геометрической прогрессии при a = 16.