Question

При каких значениях a и b равенство (х+3a)(х-2b)+6ab=((a+b)x^2)/(20-b) является верным для любых действительных х?

Answer 1

(x+3a)(x-2b)+6ab= $\frac{(a+b)x^{2} }{20-b}$
Домножим обе части на (20-b) - ОДЗ: b ≠ 20
(a+b)x² - (x+3a)(x-2b)(20-b) - 6ab(20-b) = 0
(a+b)x²  - (x²  + x(3a-2b) - 6ab)(20-b) - 6ab(20-b) = 0
(a+b)x² - 20 x²  - 20(3a-2b)x + 120ab + bx² + b(3a-2b)x - 6ab² - 6ab(20-b) = 0
(a+b-20+b)x² + (3ab - 2b² - 60a + 40b)x + 120ab - 6ab² - 120ab + 6ab² = 0
(a+2b-20)x² - (2b² + 60a - 40b - 3ab)x = 0
Для того чтобы равенство выполнялось для любых действительных х, нужно чтобы коэффициенты при х и свободный член равнялись 0. Составим систему:

a + 2b - 20 = 0
2b² + 60a - 40b - 3ab = 0

a = 20 - 2b
2b² + 60(20-2b) - 40b - 3(20-2b)b = 0 (*)

(*) 2b² + 1200 - 120b - 40b - 60b + 6b² = 0
8b² - 220b + 1200 = 0
2b² - 55b + 300 = 0
D = 55² - 4*2*300 = 625
b1 = (55-25)/4 = 30/4 = 7.5
b2 = (55+25)/4 = 80/4 = 20
Вернёмся к системе:

a = 20 - 2b
  b1 = 7.5
  b2 = 20

a1 = 5
b1 = 7.5

a2 = -20
b2 = 20

Но по ОДЗ b ≠ 20, а значит ответ единственный.
Ответ: при а = 1, b = 7.5 .

Answer 2

Для решения задачи необходимо раскрыть скобки в левой части уравнения:

(х+3a)(х-2b)+6ab = x^2 + x(3a-2b) - 6ab

Теперь сравним левую и правую части уравнения:

x^2 + x(3a-2b) - 6ab = (a+b)x^2/(20-b)

(20 - b)x^2 + x(3a-2b)(20-b) - 6ab(20-b) = (a+b)x^2

(20 - b - a - b)x^2 + x(3a-2b)(20-b) - 6ab(20-b) = 0

(18 - 2b - a)x^2 + x(3a-2b)(20-b) - 6ab(20-b) = 0

Так как равенство должно выполняться для любых действительных x, то коэффициенты перед x^2 и x должны быть равны нулю, а свободный член должен быть равен нулю:

18 - 2b - a = 0 3a(20-b) - 2b(20-b) - 6ab = 0

Первое уравнение можно переписать в виде a = 18 - 2b.

Подставим это выражение для a во второе уравнение:

3(18-2b)(20-b) - 2b(20-b) - 6b(18-2b)(20-b)/(18-2b) = 0

Раскроем скобки и упростим:

(360 - 62b + 3b^2) - (40b - 2b^2) - (360b - 60b^2) = 0

3b^2 - 66b + 360 = 0

b^2 - 22b + 120 = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня:

b1 = 10, a1 = -2 b2 = 12, a2 = -6

Таким образом, равенство выполняется при a = -2 и b = 10, а также при a = -6 и b = 12.