Question

Помогите решить предел Lim x-> -1 (1+tg^2 корень из x+1)^1/1+x

Answer 1

Lim х→1 ((x^2-1)/(1-x)= Lim х→1 ((x-1)(x+1))/(1-x)= Lim х→1 ( - (1-x)(x+1))/(1-x) = Lim х→1 (- (x + 1)) = -2

Answer 2

Давайте решим предел этого выражения по шагам.

Выражение, для которого нужно найти предел, выглядит следующим образом:

Lim x->-1 (1 + tan^2(sqrt(x + 1)))^(1/(1 + x))

Для начала заметим, что корень из (x + 1) в пределе при x -> -1 равен нулю:

Lim x->-1 sqrt(x + 1) = sqrt(0) = 0

Теперь, давайте заменим переменную, чтобы преобразовать выражение и облегчить дальнейшие вычисления. Положим u = sqrt(x + 1), тогда при x -> -1, u -> 0.

Следовательно, когда x -> -1, u -> 0, и мы можем записать предел в новых переменных:

Lim u->0 (1 + tan^2(u))^(1/(1 + u^2 - 1))

Обратите внимание, что u^2 - 1 = (sqrt(x + 1))^2 - 1 = x + 1 - 1 = x.

Теперь выражение принимает вид:

Lim u->0 (1 + tan^2(u))^(1/(1 + x))

Заметим также, что tan^2(u) + 1 = sec^2(u). Мы можем использовать это свойство, чтобы заменить tan^2(u) в выражении:

Lim u->0 (1 + sec^2(u) - 1)^(1/(1 + x))

Это упрощает выражение:

Lim u->0 sec^2(u)^(1/(1 + x))

Теперь вспомним, что sec^2(u) = 1/cos^2(u). Подставим это в выражение:

Lim u->0 (1/cos^2(u))^(1/(1 + x))

Упростим дальше:

Lim u->0 (1/cos(u))^(2/(1 + x))

Используем теперь замену обратно к исходной переменной x:

Lim x->-1 (1/cos(sqrt(x + 1)))^(2/(1 + x))

И наконец, подставим x = -1:

(1/cos(sqrt((-1) + 1)))^(2/(-1 + (-1)))

(1/cos(sqrt(0)))^(2/(-2))

(1/cos(0))^(2/(-2))

(1/1)^(2/(-2))

1^(2/(-2))

1

Таким образом, предел данного выражения при x -> -1 равен 1.