Question

Исследуйте функцию и постройте график y=2х в третьей степени - 6х+5

Answer 1

Дана функция у = 2х³ - 6х + 5.

1) Область определения функции - ограничений нет, х ∈ (-∞; +∞).

Точки разрыва функции - нет.  

2) Четность или нечетность функции.  

y(-x)=-2·x3+6·x+5  ≠ у(х). Функция общего вида  

3) Периодичность функции - нет.  

4) Точки пересечения кривой с осями координат.  

Пересечение с осью 0Y : x=0, y=5  

Пересечение с осью 0X  

y=0

2·x³-6·x+5=0 . Решается по методу Кардано.

x1=-2.0536232  

5) Исследование на экстремум y = 2*x^3-6*x+5.  

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.  

f'(x) = 6·x²-6  

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю  

6·x² - 6 = 0 ,    6(x²- 1) = 0.

Откуда:   x1 = -1  ,  x2 = 1.

(-∞ ;-1)                           (-1; 1)                           (1; +∞)

f'(x) > 0                            f'(x) < 0                           f'(x) > 0

функция возрастает функция убывает функция возрастает

В окрестности точки x = -1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1 - точка максимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.  

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная f''(x) = 12·x.  

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю: 12·x = 0.  

Откуда точки перегиба:  

x1 = 0  

(-∞ ;0) (0; +∞)

f''(x) < 0 f''(x) > 0

функция выпукла функция вогнута

6) Асимптоты кривой.  

y = 2·x³-6·x+5.

Вертикальные асимптоты – нет.  

 Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:  

• lim x³-6x+5, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

• lim x³-6x+5, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции.  

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+∞ и x->-∞. Находим пределы:  

• lim x³-6x+5/x, x->+∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует,

• lim x³-6x+5/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию и построить её график, давайте рассмотрим функцию y = 2x^3 - 6x + 5.

1. Найдём точки пересечения с осями координат: Для оси OX: y = 0 0 = 2x^3 - 6x + 5 Для решения этого уравнения, нам понадобится численный метод. Один из таких методов - метод бисекции или метод половинного деления. Давайте применим этот метод, чтобы найти корни уравнения.

   Зададим начальные границы отрезка, в котором будем искать корни. Для примера, выберем отрезок [-5, 5].

   Применим метод половинного деления для нахождения корня:

   • Первая итерация: a = -5, b = 5 x = (a + b) / 2 = 0 f(x) = 2(0)^3 - 6(0) + 5 = 5 f(a) = 2(-5)^3 - 6(-5) + 5 = -205 f(x) и f(a) имеют разные знаки, поэтому новый интервал поиска будет [0, 5].

   • Вторая итерация: a = 0, b = 5 x = (a + b) / 2 = 2.5 f(x) = 2(2.5)^3 - 6(2.5) + 5 ≈ -2.875 f(a) = 2(0)^3 - 6(0) + 5 = 5 f(x) и f(a) имеют разные знаки, поэтому новый интервал поиска будет [2.5, 5].

   • Третья итерация: a = 2.5, b = 5 x = (a + b) / 2 = 3.75 f(x) = 2(3.75)^3 - 6(3.75) + 5 ≈ 33.515625 f(a) = 2(2.5)^3 - 6(2.5) + 5 ≈ -2.875 f(x) и f(a) имеют разные знаки, поэтому новый интервал поиска будет [3.75, 5].

   • Четвёртая итерация: a = 3.75, b = 5 x = (a + b) / 2 ≈ 4.375 f(x) = 2(4.375)^3 - 6(4.375) + 5 ≈ 61.572265625 f(a) = 2(3.75)^3 - 6(3.75) + 5 ≈ 33.515625 f(x) и f(a) имеют разные знаки, поэтому новый интерв