Question

Найти площадь фигуры? которая задается на координатной плоскостями условиями \left \{ {{y\leq6-2/x/} \atop {y\geq2+2/x/}} \right.

Answer 1

Построим графики  y=6-2|x|  ,  y=2+2|x|.
Затем выберем область внутри "угла"  y≤6-2|x|  и вне "угла" y≥2+2|x| . 
Получим фигуру - ромб, диагонали которого равны  d₁=2 , d₂=4.
Площадь ромба = 1/2*d₁*d₂=1/2*2*4=4 .

Answer 2

Данная фигура ограничена двумя неравенствами:

• y ≤ 6 - 2/|x|
• y ≥ 2 + 2/|x|

Заметим, что |x| может быть положительным или отрицательным, поэтому введем новую переменную u = 1/|x|. Тогда наше неравенство принимает следующий вид:

• y ≤ 6 - 2u
• y ≥ 2 + 2u

Заметим также, что у нас есть ограничение на знак x: если x > 0, то u > 0, а если x < 0, то u < 0. Это означает, что наша фигура симметрична относительно оси y.

Чтобы найти площадь этой фигуры, нам нужно построить ее на координатной плоскости и вычислить интеграл двойного интеграла по области, ограниченной графиком фигуры.

Мы можем построить график, используя Wolfram Alpha или любой другой графический калькулятор. На графике мы видим, что фигура представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в вертикальном направлении и симметричные относительно оси y.

Для вычисления площади мы можем использовать следующий интеграл:

∫∫ D dA

где D - область, ограниченная графиком фигуры.

Так как фигура симметрична относительно оси y, то мы можем вычислить площадь только для одной половины фигуры, а затем удвоить ее. Для этого мы интегрируем по области, где x находится в диапазоне от 1/3 до бесконечности (то есть u находится в диапазоне от 0 до 1/3):

∫(1/3)∞ ∫(2+2u)^(6-2u) dydx

Вычислим сначала внутренний интеграл:

∫(2+2u)^(6-2u) dy = y∣_(2+2u)^(6-2u) = (6-2u)-(2+2u) = 4-4u

Подставим это выражение во внешний интеграл:

∫(1/3)∞ (4-4u)dx = (4-4u)x∣_(1/3)∞ = (4-4u)(∞ - 1/3) = ∞

Таким образом, площадь фигуры