Question

Найдите критические точки функции у=х^3+6х^2-15х-3.Какие из них-точки максимума,а какие -точки минимума функции?

Answer 1

Y`=3x²+12x-15
3(x²+4x-5)=0
x1+x2=-4 U x1*x2=-5
x1=-5 U x2=1
   +                       _                    +
-----------(-5)---------------(1)-----------------
             max                 min

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции $y = x^3 + 6x^2 - 15x - 3$, нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Затем мы можем использовать тест первой производной, чтобы определить, является ли каждая критическая точка точкой максимума или точкой минимума.

Производная функции $y$ равна: $y' = 3x^2 + 12x - 15.$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $3x^2 + 12x - 15 = 0.$

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. В данном случае, уравнение может быть факторизовано: $3(x - 1)(x + 5) = 0.$

Из этого следует, что $x - 1 = 0$ или $x + 5 = 0$, то есть $x = 1$ или $x = -5$.

Теперь нам нужно использовать тест первой производной, чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или точками минимума.

Рассмотрим интервалы между критическими точками и экстремумами:

1. $(-\infty, -5)$: Выберем $x = -6$, который лежит в этом интервале. Подставим его в производную функции: $y'(-6) = 3(-6)^2 + 12(-6) - 15 = 207.$ Так как $y'(-6) > 0$, то это означает, что функция возрастает на интервале $(-\infty, -5)$.

2. $(-5, 1)$: Выберем $x = 0$, который лежит в этом интервале. Подставим его в производную функции: $y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) - 15 = -15.$ Так как $y'(0) < 0$, то это означает, что функция убывает на интервале $(-5, 1)$.

3. $(1, +\infty)$: Выберем $x = 2$, который лежит в этом интервале. Подставим его в производную функции: $y'(2) = 3(2)^2 + 12(2) - 15 = 27.$ Так как $y'(2) > 0$, то это означает, что функция возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Итак, мы имеем следующую информацию:

• Функция убывает на интервале $(-5, 1)$.