Question

Найдите производную функции y=tg3x*1/x. Решение:

Answer 1

Y=tg3x/x     y'=u/v'=1/v²[u'v-v²'u]

u=tg3x   u'=3/cos²3x    v=x  v'=1

y'=1/x²[3/cos²3x - tg3x]=3/x²cos²3x - tg3x/x²

Answer 2

Для нахождения производной функции y = tg(3x) * 1/x воспользуемся правилом производной произведения и правилом дифференцирования тангенса.

Правило производной произведения: d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx,

где u и v - функции, зависящие от x.

Применяем это правило:

Пусть u = tg(3x) и v = 1/x.

Тогда du/dx = d(tg(3x))/dx и dv/dx = d(1/x)/dx.

Теперь найдем производные каждой из функций.

1. Найдем du/dx = d(tg(3x))/dx:

Применим правило дифференцирования тангенса:

du/dx = 3 * sec^2(3x) * d(3x)/dx,

где sec^2(3x) - квадрат секанса функции 3x.

Заметим, что d(3x)/dx = 3.

Таким образом, du/dx = 3 * sec^2(3x) * 3 = 9 * sec^2(3x).

2. Найдем dv/dx = d(1/x)/dx:

Применим правило дифференцирования обратной функции:

dv/dx = -1/x^2.

Теперь, используя найденные производные, подставим значения в правило производной произведения:

d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx.

Подставим u = tg(3x), v = 1/x, du/dx = 9 * sec^2(3x) и dv/dx = -1/x^2:

d(tg(3x) * 1/x)/dx = tg(3x) * (-1/x^2) + (1/x) * (9 * sec^2(3x)).

Упростим это выражение:

d(tg(3x) * 1/x)/dx = -tg(3x)/x^2 + 9 * sec^2(3x)/x.

Таким образом, производная функции y = tg(3x) * 1/x равна:

y' = -tg(3x)/x^2 + 9 * sec^2(3x)/x.