Question

Найдите все значения x, при которых выполняет равенство f' (x)=0, если f(x)=sin(2x)+√2x,xϵ[π;5π]

Answer 1

F''(x)=2cos2x+√2
решаем равенство:
2cos2x+√2=0
2(cos2x+ $\frac{ \sqrt{2} }{2}$)=0
cos2x= - $\frac{ \sqrt{2} }{2}$
2x= $\frac{3 \pi }{4}+2 \pi k$, k∈Z
x= $\frac{3 \pi }{8}+ \pi k$, k∈Z
 выбираем  значения, удовлетворяющие условию:[π;5π]
Ответ: x ∈{ $\frac{3 \pi }{8} ; \frac{3 \pi }{8}+ \pi ; \frac{3 \pi }{8}+2 \pi ; \frac{3 \pi }{8}+3 \pi ; \frac{3 \pi }{8}+4 \pi$}

Answer 2

Для решения задачи требуется найти производную функции f(x), затем найти значения x, при которых f'(x)=0.

f(x) = sin(2x) + √(2x)

f'(x) = 2cos(2x) + (1/√(2x))

Для того чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, необходимо решить уравнение:

2cos(2x) + (1/√(2x)) = 0

Перенеся все члены в левую часть уравнения, получим:

2cos(2x) = - (1/√(2x))

Учитывая, что cos(2x) находится в диапазоне [-1, 1], мы можем сделать вывод, что значения √(2x) должны находиться в интервале (-∞, -1/2] ∪ [1/2, +∞), так как если √(2x) принимает значение в интервале [-1/2, 1/2], то уравнение не имеет решения.

Поделим обе части уравнения на 2cos(2x):

-1/(2cos(2x)√(2x)) = 1/2cos(2x)

-1/(2cos(2x)√(2x)) - 1/2cos(2x) = 0

(-1/2cos(2x))(1/√(2x) + 1) = 0

Таким образом, имеем два возможных значения x:

1. cos(2x) = -1/2, тогда 2x = 2π/3 + kπ, где k - целое число. Отсюда получаем значения x: π/3 + kπ/2, где k - целое число.

2. √(2x) = -1, тогда 2x = 1, откуда получаем единственное значение x: x = 1/2.

Таким образом, все значения x, при которых выполняется равенство f'(x) = 0 в интервале [π, 5π], равны:

x = π/3, 5π/3, 3π/2, 1/2.