Question

Найти все значения параметра а, при которых уравнение |x²+ax|=-3a имеет два корня

Answer 1

Дано уравнение  |x² + ax| = -3a.       ОДЗ: -3а ≥ 0,   a ≤ 0.

Оно равносильно системе:

{x² + ax + 3a = 0              {x² + ax + 3a = 0        (1)

{-x² - ax + 3a = 0|*(-1)       {x² + ax - 3a = 0.        (2)

Найдём граничные значения а, при которых уравнение имеет 1 решение.

Для этого приравниваем нулю дискриминант.

(1) Д = а² - 12а = а(а - 12) = 0.

Получаем а = 0 и а = 12 (это значение не проходит по ОДЗ).

(2) Д = а² + 12а = а(а + 12) = 0.

Получаем а = 0 и а = -12.

Методом интервалов определяем соответствие значения а заданному условию.

Значение а больше 0 не проходит по ОДЗ.

Значение а меньше -12 даёт 4 корня заданного уравнения.

Ответ: a ∈ (-12; 0).

Answer 2

Для того, чтобы уравнение |x²+ax|=-3a имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы его левая часть, которая является модулем, была отрицательной.

При этом мы знаем, что модуль всегда неотрицателен, поэтому отрицательным он может быть только в том случае, если его аргумент (то есть выражение внутри модуля) отрицательно.

Таким образом, нам нужно решить неравенство:

x²+ax < 0

Выражение x²+ax представляет собой параболу, которая ветвится вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Если a = 0, то это выражение превращается в x², то есть обычную параболу.

При a > 0 парабола x²+ax имеет минимум в точке x=-a/2 и положительна на всей числовой оси, поэтому неравенство x²+ax < 0 не имеет решений.

При a < 0 парабола x²+ax имеет максимум в точке x=-a/2 и отрицательна на всей числовой оси до этой точки, а после неё становится положительной. Таким образом, неравенство x²+ax < 0 имеет решения только на интервале (-∞, -a).

Итак, для того, чтобы уравнение |x²+ax|=-3a имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы неравенство x²+ax < 0 имело решения на интервале (-∞, -a), то есть чтобы a < 0.

Теперь мы можем найти значения параметра a, при которых это неравенство имеет решения. Для этого нам нужно найти корни уравнения x²+ax=0 и определить их знак на интервалах (-∞, -a) и (-a, +∞).

Корни уравнения x²+ax=0 равны 0 и -a, так что на интервале (-∞, -a) решения есть только для x < 0, а на интервале (-a, +∞) решения есть только для x > 0.

Таким образом, неравенство x²+ax < 0 имеет решения на интервале (-∞, -a) только если a > 0, и на интервале (-a, +∞) только если a < 0.

Значит, решения есть только при a < 0.

Поскольку мы хотим, чтобы уравнение |x²+ax|=-3a имело два кор